设有两个非零矩阵A=[a1，a2，…，an]T，B=[b1，b1，…，bn]T． (1)计算ABT与ATB； (2)求矩阵ABT的秩r(ABT)； (3)设C=E－ABT，其中E为n阶单位阵．证明：CTC=E－BAT－ABT+BBT的充要条件是ATA=1．

admin2019-01-05 50

问题设有两个非零矩阵A=[a₁，a₂，…，a_n]^T，B=[b₁，b₁，…，b_n]^T．
(1)计算AB^T与A^TB；
(2)求矩阵AB^T的秩r(AB^T)；
(3)设C=E－AB^T，其中E为n阶单位阵．证明：C^TC=E－BA^T－AB^T+BB^T的充要条件是A^TA=1．

选项

答案(1)AB^T=[*]，A^TB=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n． (2)因AB^T各行(或列)是第1行(列)的倍数，又A，B皆为非零矩阵，故r(AB^T)=1． (3)由于C^TC=(E－AB^T)^T(E－AB^T)=(E－BA^T)(E－AB^T)=E－BA^T－AB^T+BA^TAB^T，故若要求C^TC=E－BA^T－AB^T+BB^T，则BA^TAB^T－BB^T=O，B(A^TA－1)B^T=O，即 (A^TA－1)BB^T=O．因为B≠O，所以BB^T≠O．故C^TC=E－BA^T－AB^T+BB^T的充要条件是A^TA=1．

解析

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考研数学三

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设有两个非零矩阵A=[a1，a2，…，an]T，B=[b1，b1，…，bn]T． (1)计算ABT与ATB； (2)求矩阵ABT的秩r(ABT)； (3)设C=E－ABT，其中E为n阶单位阵．证明：CTC=E－BAT－ABT+BBT的充要条件是ATA=1．

考研数学三

[*]按题设积分次序求不出积分值，可调换求之．为此先画出二重积分的区域．解所给积分的积分区域用D表示，如右图所示．该积分改用极坐标系计算，得到

设α1，α2，α3，α4为四维非零列向量，A=[α1，α2，α3，α4]，A为A的伴随矩阵，又知方程组AX=0的基础解系为[1，0，2，0]T，则方程组AX=0的基础解系为()．

设f(x)连续，则∫0x(∫0tf(x)dx)dt=()．

设A，B为随机事件，且（Ⅰ）求二维随机变量（X，Y）的概率分布；（Ⅱ）求X和Y的相关系数ρXY。

已知α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，那么向量α1一α2，α1+α2一2α3，（α2一α1），α1一3α2+2α3中，是方程组Ax=0解向量的共有（）

设曲线y=f（x），其中y=f（x）是可导函数，且f（x）＞0。已知曲线y=f（x）与直线y=0，x=1及x=t（t＞1）所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线方程。

求下列积分。（Ⅰ）设f（x）=∫1xe—y2dy，求∫01x2f（x）dx；（Ⅱ）设函数f（x）在[0，1]上连续且∫01f（x）dx=A，求∫01dx∫x1f（x）f（y）dy。

设三阶方阵A与B相似，且|2E+A|=0。已知λ1=1，λ2=—1是方阵B的两个特征值，则|A+2AB|=________。

已知方程y’’+P(x)y’+q(x)y=0，求证：(I)若P(x)+xq(x)≡0，则y=x是方程的一个特解；(Ⅱ)若m2+mp(x)+q(x)≡0，则y=emx是方程的一个特解．

A．老年B．角膜带状变性C．格子状角膜营养不良D．颗粒状角膜营养不良E．Fuch角膜内皮营养不良角膜后弹性层呈散在灶性增厚()

甲实施了刑法侵犯著作权的行为，又销售该侵权复制品，违法所得数额巨大。甲的行为应属于()。

导游人员的法律义务是指导游人员必须依法履行的责任，包括必须做出的行为和不得做出的行为。()

马克思主义中国化的实质是()

有三个关系R、S和T如下：其中关系T由关系R和S通过某种操作得到，该操作为()。

TheweatherwasniceinTrumbullCountyonSaturdayevening.AmandaSymcheckwashavingapartyinthebasementwhenthestorm

A、 B、 C、 C

环境保护

A、Thosepeoplediscoveredthehurricanesfirst.B、It’seasytotellhurricanesapart.C、Thosepeoplearepopstars.D、Thosepeop

设有两个非零矩阵A=[a1，a2，…，an]T，B=[b1，b1，…，bn]T． (1)计算ABT与ATB； (2)求矩阵ABT的秩r(ABT)； (3)设C=E－ABT，其中E为n阶单位阵．证明：CTC=E－BAT－ABT+BBT的充要条件是ATA=1．

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[*]按题设积分次序求不出积分值，可调换求之．为此先画出二重积分的区域．解所给积分的积分区域用D表示，如右图所示．该积分改用极坐标系计算，得到

设α1，α2，α3，α4为四维非零列向量，A=[α1，α2，α3，α4]，A*为A的伴随矩阵，又知方程组AX=0的基础解系为[1，0，2，0]T，则方程组A*X=0的基础解系为()．

设f(x)连续，则∫0x(∫0tf(x)dx)dt=()．

设A，B为随机事件，且（Ⅰ）求二维随机变量（X，Y）的概率分布；（Ⅱ）求X和Y的相关系数ρXY。

已知α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，那么向量α1一α2，α1+α2一2α3，（α2一α1），α1一3α2+2α3中，是方程组Ax=0解向量的共有（）

设曲线y=f（x），其中y=f（x）是可导函数，且f（x）＞0。已知曲线y=f（x）与直线y=0，x=1及x=t（t＞1）所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线方程。

求下列积分。（Ⅰ）设f（x）=∫1xe—y2dy，求∫01x2f（x）dx；（Ⅱ）设函数f（x）在[0，1]上连续且∫01f（x）dx=A，求∫01dx∫x1f（x）f（y）dy。

设三阶方阵A与B相似，且|2E+A|=0。已知λ1=1，λ2=—1是方阵B的两个特征值，则|A+2AB|=________。

已知方程y’’+P(x)y’+q(x)y=0，求证：(I)若P(x)+xq(x)≡0，则y=x是方程的一个特解；(Ⅱ)若m2+mp(x)+q(x)≡0，则y=emx是方程的一个特解．

A．老年B．角膜带状变性C．格子状角膜营养不良D．颗粒状角膜营养不良E．Fuch角膜内皮营养不良角膜后弹性层呈散在灶性增厚()

甲实施了刑法侵犯著作权的行为，又销售该侵权复制品，违法所得数额巨大。甲的行为应属于()。

导游人员的法律义务是指导游人员必须依法履行的责任，包括必须做出的行为和不得做出的行为。()

马克思主义中国化的实质是()

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设α1，α2，α3，α4为四维非零列向量，A=[α1，α2，α3，α4]，A为A的伴随矩阵，又知方程组AX=0的基础解系为[1，0，2，0]T，则方程组AX=0的基础解系为()．