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设f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内二阶可导,且2f(0)=∫02f(t)dt=f(2)+f(3).证明: 存在ξ∈(0,3),使得f"(ξ)一2 f’(ξ)=0.
设f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内二阶可导,且2f(0)=∫02f(t)dt=f(2)+f(3).证明: 存在ξ∈(0,3),使得f"(ξ)一2 f’(ξ)=0.
admin
2016-09-30
61
问题
设f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内二阶可导,且2f(0)=∫
0
2
f(t)dt=f(2)+f(3).证明:
存在ξ∈(0,3),使得f"(ξ)一2 f’(ξ)=0.
选项
答案
令φ(x)=e
一2x
f’(x),φ(ξ
1
)=φ(ξ
2
)=0, 由罗尔定理,存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](0,3),使得φ’(ξ)=0, 而φ’(x)=e
2x
[f"(x)一2f’(x)]且e
一2x
≠0,故f"(ξ)一2f’(ξ)=0.
解析
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0
考研数学三
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