已知向量组A：α1，α2，…，αs与B：α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt有相同的秩，证明：β1，β2，…，βt可以由α1，α2，…，αs线性表示．

admin2020-06-05 51

问题已知向量组A：α₁，α₂，…，α_s与B：α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_t有相同的秩，证明：β₁，β₂，…，β_t可以由α₁，α₂，…，α_s线性表示．

选项

答案由于向量组A与B有相同的秩，因此它们的极大线性无关组所含向量个数相同．设 α_i₁，α_i₂…，α_{i_r}是向量组A的极大线性无关组，则α_i₁，α_i₂，…，α_{i_r}也是向量组B中的r个线性无关的向量．又因R(A)＝R(B)＝r，从而α_i₁，α_i₂…，α_{i_r}也是向量组B的极大线性无关组，因此，β₁，β₂，…，β_t可以由α_i₁，α_i₂…，α_{i_r}线性表示，也就有β₁，β₂，…，β_t可以由α₁，α₂，…，α_s线性表示．

解析

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考研数学一

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已知向量组A：α1，α2，…，αs与B：α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt有相同的秩，证明：β1，β2，…，βt可以由α1，α2，…，αs线性表示．

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