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[2002年] (1)验证函数.满足微分方程y’’+y’+y=ex;(2)利用上题的结果求幂级数的和函数.[img][/img]
[2002年] (1)验证函数.满足微分方程y’’+y’+y=ex;(2)利用上题的结果求幂级数的和函数.[img][/img]
admin
2019-04-08
50
问题
[2002年] (1)验证函数
.满足微分方程y’’+y’+y=e
x
;(2)利用上题的结果求幂级数
的和函数.[img][/img]
选项
答案
(1)验证该幂级数的收敛区间是(一∞,+∞),这是缺项幂级数.令t=x
3
,则 原级数=[*] ① 由 [*] 便知级数①的收敛半径为R=∞,从而t∈(一∞,+∞)即x∈(一∞,+∞)时,原级数收敛. 在收敛区间(一∞,+∞)内可逐项求导任意次,下面只需逐项求导两次即可. [*] 则 [*] 于是 [*] (收敛级数与它任意添加括号后的级数有相同的和). (2)求解初始条件为y(0)=1,y’(0)=0的微分方程 y’’+y’+y=e
x
. ② 对应齐次微分方程y’’+y’+y=0的特征方程为λ
2
+λ+1=0,其特征根为λ
1,2
=[*]. 于是对应齐次微分方程的通解为 [*] 由于λ=1不是特征根,可设非齐次微分方程的特解为y
*
=Ae
x
.将y
x
代入方程②得A=1/3,于是y
x
=e
x
/3,故非齐次微分方程②的通解为 [*] 又将初始条件y(0)=1,y’(0)=0代入上式得到 [*] 解之得C
1
=2/3,C
2
=0,故所求幂级数[*]的和函数为 [*]
解析
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0
考研数学一
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