[2002年] (1)验证函数．满足微分方程y’’+y’+y=ex；(2)利用上题的结果求幂级数的和函数．[img][/img]

admin2019-04-08 59

问题 [2002年] (1)验证函数

．满足微分方程y’’+y’+y=e^x；(2)利用上题的结果求幂级数

的和函数．[img][/img]

选项

答案(1)验证该幂级数的收敛区间是(一∞，+∞)，这是缺项幂级数．令t=x³，则原级数=[*] ① 由 [*] 便知级数①的收敛半径为R=∞，从而t∈(一∞，+∞)即x∈(一∞，+∞)时，原级数收敛．在收敛区间(一∞，+∞)内可逐项求导任意次，下面只需逐项求导两次即可． [*] 则 [*] 于是 [*] (收敛级数与它任意添加括号后的级数有相同的和)． (2)求解初始条件为y(0)=1，y’(0)=0的微分方程 y’’+y’+y=e^x. ② 对应齐次微分方程y’’+y’+y=0的特征方程为λ²+λ+1=0，其特征根为λ_1，2=[*]．于是对应齐次微分方程的通解为 [*] 由于λ=1不是特征根，可设非齐次微分方程的特解为y^*=Ae^x．将y^x代入方程②得A=1／3，于是y^x=e^x／3，故非齐次微分方程②的通解为 [*] 又将初始条件y(0)=1，y’(0)=0代入上式得到 [*] 解之得C₁=2／3，C₂=0，故所求幂级数[*]的和函数为 [*]

解析

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考研数学一

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[2002年] (1)验证函数．满足微分方程y’’+y’+y=ex；(2)利用上题的结果求幂级数的和函数．[img][/img]

考研数学一

A，B均为n阶非零矩阵，且A2+A=0，B2+B=0，证明：λ=－1必是矩阵A与B的特征值．若AB=BA=0，α与β分别是A与B属于特征值λ=－1的特征向量，证明：向量组α，β线性无关．

设f(x)在[x1，x2]可导，0＜x1＜x2，证明：∈(x1，x2)使得

判断下列结论是否正确?为什么?(I)若函数f(x)，g(x)均在x0处可导，且f(x0)=g(x0)，则f’(x0)=g’(x0)；(Ⅱ)若x∈(x0—δ，x0+δ)，x≠x0时f(x)=g(x)，则f(x)与g(x)在x=x0处有相同

设有四个线性无关的特征向量，求A的特征值与特征向量，并求A2010．

设有微分方程y’一2y＝φ(x)，其中φ(x)＝试求：在(一∞，＋∞)内的连续函数y＝y(x)，使之在(一∞，1)和(1，＋∞)内都满足所给方程，且满足条件y(0)＝0．

设二元函数f(x，y)=|x－y|φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续．证明：函数f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是φ(0，0)=0．

求曲线y=3－|x2－1|与x轴围成的封闭区域绕直线y=3旋转所得的旋转体的体积．

设函数f(x)(x≥0)可微，且f(x)＞0．将曲线y=f(x)，x=1，x=a(a＞1)及x轴所围成平面图形绕x轴旋转一周得旋转体体积为π／3[s2f(a)－f(1)]．若f(1)=1／2，求：f(x)的极值．

设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立且在[0，a]上服从均匀分布，令U=max{X1，X2，…，Xn}，求U的数学期望与方差．

设φ1(x)，φ2(x)为一阶非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为()．

A．桑菊饮B．桑杏汤C．沙参麦冬汤D．清燥救肺汤患者干咳，咳声短促，痰少，口干咽燥，潮热盗汗，舌红少苔，脉细数，治宜选用

A．ALTB．ASTC．cTnD．CK-MBE．Mb在急性心肌梗死时，增高1～2周后可恢复正常的心肌指标是

患者，男性，35岁。1天前饮酒后出现上腹剧烈疼痛，伴恶心、呕吐及腹胀，大小便正常。查体：上腹偏左腹肌紧张，明显压痛，腹平片膈下未见游离气体。治疗过程中，提示病情尚未加重的是()

白芥子的功效是

当供给供电器的电力线路与有线电视电缆同杆架设时，供电线材应采用绝缘导线，并应架在电缆的上方，与电缆的距离应大于0.6m。()

最直观、可靠的探水方法为()。

关于一人有限责任公司，下列说法中正确的有(　　　)。

先贤有句名言“认识你自己”，后人对此展开了丰富的讨论。请以“认识自己”为话题进行写作。文体不限，诗歌除外。

【S1】【S7】

[2002年] (1)验证函数．满足微分方程y’’+y’+y=ex；(2)利用上题的结果求幂级数的和函数．[img][/img]

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A，B均为n阶非零矩阵，且A2+A=0，B2+B=0，证明：λ=－1必是矩阵A与B的特征值．若AB=BA=0，α与β分别是A与B属于特征值λ=－1的特征向量，证明：向量组α，β线性无关．

设f(x)在[x1，x2]可导，0＜x1＜x2，证明：∈(x1，x2)使得

判断下列结论是否正确?为什么?(I)若函数f(x)，g(x)均在x0处可导，且f(x0)=g(x0)，则f’(x0)=g’(x0)；(Ⅱ)若x∈(x0—δ，x0+δ)，x≠x0时f(x)=g(x)，则f(x)与g(x)在x=x0处有相同

设有四个线性无关的特征向量，求A的特征值与特征向量，并求A2010．

设有微分方程y’一2y＝φ(x)，其中φ(x)＝试求：在(一∞，＋∞)内的连续函数y＝y(x)，使之在(一∞，1)和(1，＋∞)内都满足所给方程，且满足条件y(0)＝0．

设二元函数f(x，y)=|x－y|φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续．证明：函数f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是φ(0，0)=0．

求曲线y=3－|x2－1|与x轴围成的封闭区域绕直线y=3旋转所得的旋转体的体积．

设函数f(x)(x≥0)可微，且f(x)＞0．将曲线y=f(x)，x=1，x=a(a＞1)及x轴所围成平面图形绕x轴旋转一周得旋转体体积为π／3[s2f(a)－f(1)]．若f(1)=1／2，求：f(x)的极值．

设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立且在[0，a]上服从均匀分布，令U=max{X1，X2，…，Xn}，求U的数学期望与方差．

设φ1(x)，φ2(x)为一阶非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为()．

A．桑菊饮B．桑杏汤C．沙参麦冬汤D．清燥救肺汤患者干咳，咳声短促，痰少，口干咽燥，潮热盗汗，舌红少苔，脉细数，治宜选用

A．ALTB．ASTC．cTnD．CK-MBE．Mb在急性心肌梗死时，增高1～2周后可恢复正常的心肌指标是

患者，男性，35岁。1天前饮酒后出现上腹剧烈疼痛，伴恶心、呕吐及腹胀，大小便正常。查体：上腹偏左腹肌紧张，明显压痛，腹平片膈下未见游离气体。治疗过程中，提示病情尚未加重的是()

白芥子的功效是

当供给供电器的电力线路与有线电视电缆同杆架设时，供电线材应采用绝缘导线，并应架在电缆的上方，与电缆的距离应大于0.6m。()

最直观、可靠的探水方法为()。

关于一人有限责任公司，下列说法中正确的有( )。

先贤有句名言“认识你自己”，后人对此展开了丰富的讨论。请以“认识自己”为话题进行写作。文体不限，诗歌除外。

【S1】【S7】

关于一人有限责任公司，下列说法中正确的有(　　　)。