设F(u,v)有连续偏导数,且满足≠0,其中a,b,c≠0为常数,并有曲面S:F(cχ-az,cy-bz)=0,求证: (Ⅰ)曲面S上点处的法线总垂直于常向量; (Ⅱ)曲面S是以г:=0,为准线.母线平行于l=(a.b.c)的柱面.

admin2018-06-12  29

问题 设F(u,v)有连续偏导数,且满足≠0,其中a,b,c≠0为常数,并有曲面S:F(cχ-az,cy-bz)=0,求证:
    (Ⅰ)曲面S上点处的法线总垂直于常向量;
    (Ⅱ)曲面S是以г:=0,为准线.母线平行于l=(a.b.c)的柱面.

选项

答案(Ⅰ)令G(χ,y,z)=F(cχ-az,cy-bz),则曲面S的方程是G(χ,y,z)=0,S上[*]点处的法向量是 n=([*])=(cF′1,cF′2,-aF′1-bF′2). [*]n.(a,b,C)=0[*]n⊥(a,b,c)[*]S上[*]点的法线总垂直于常向量(a,b,c). (Ⅱ)过曲线г上[*]点(χ0,y0,0)以l=(a,b,C)为方向向量的直线L的参数方程是 χ=χ0+ta,y=y0+tb,z=tc, 要证L在S上.在L上, cχ=cχ0+tca,cy=cy0+tcb,tc=z, cχ=az=cχ0,cy-bz=cy0, [*]F(cχ-az,cy-bz)=F(cχ0,cy0)=0, 即L在曲面S上. 另一方面,曲面S上[*]点(χ0,y0,z0): F(cχ0-az0,cy0-bz0)=0. 记cχ0-az0=cχ*,cy0-bz0=cy*[*](χ*,y*,0)在г上即满足 [*] 点(χ0,y0,z0)在过点(χ*,y*,0)的直线[*]上,它的方向向量是 l=[*]=c(a,b,c), 即S上[*]点(χ0,y0,z0)在过,上相应点(χ*,y*,0)以l=(a,b,c)为方向向量的直线上. 因此,曲面S是以г为准线,母线平行于(a,b,c)的柱面.

解析
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