设A为n阶可逆矩阵,α为n维列向量,b为常数,记分块矩阵 P= 其中A*是A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵. (1)计算并化简PQ; (2)证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b.

admin2016-05-09  43

问题 设A为n阶可逆矩阵,α为n维列向量,b为常数,记分块矩阵
    P=
    其中A*是A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.
    (1)计算并化简PQ;
    (2)证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b.

选项

答案(1)由AA*=A*A=|A|E及A*=|A|A-1有 [*] (2)由下三角形行列式及分块矩阵行列式的运算,有 [*] 因为矩阵A可逆,行列式|A|≠0,故|Q|=|A|(b-αTA-1α). 由此可知,Q可逆的充分必要条件是b-αTA-1α≠0,即αTA-1α≠b.

解析
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