设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵 P＝其中A*是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵． (1)计算并化简PQ； (2)证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．

admin2016-05-09 87

问题设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵
P＝

其中A^*是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．
(1)计算并化简PQ；
(2)证明矩阵Q可逆的充分必要条件是α^TA^-1α≠b．

选项

答案(1)由AA^*＝A^*A＝｜A｜E及A^*＝｜A｜A^-1有 [*] (2)由下三角形行列式及分块矩阵行列式的运算，有 [*] 因为矩阵A可逆，行列式｜A｜≠0，故｜Q｜＝｜A｜(b－α^TA^-1α)．由此可知，Q可逆的充分必要条件是b－α^TA^-1α≠0，即α^TA^-1α≠b．

解析

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考研数学一

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