试求函数y=arctanx在x=0处的各阶导数。

admin2018-12-27  27

问题 试求函数y=arctanx在x=0处的各阶导数。

选项

答案由已知得[*]故有 y’(1+x2)=1。 上式两边对x求n阶导数,当n≥3时(1+x2)(n)=0,因此由莱布尼茨公式 Cn0(y’)(n)(1+x2)+Cn1(y’)(n-1)(1+x2)’+Cn2(y’)(n-2)(1+x2)"=0, 即 (1+x2)y(n+1)+2nxy(n)+(n-1)ny(n-1)=0。 令x=0,得 y(n+1)(0)+(n-1)ny(n-1)(0)=0, 根据该递推关系,则 y(n)(0)=(1-n)(n-2)y(n-2)(0),n≥2。 由y(0)=0,y’(0)=1及上述递推公式,得 y(2k)(0)=0,k=1,2,…; y(2k+1)(0)=( -1)k(2k)!,k=0,1,2,…。

解析
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