试求函数y=arctanx在x=0处的各阶导数。

admin2018-12-27 33

问题试求函数y=arctanx在x=0处的各阶导数。

选项

答案由已知得[*]故有 y’(1+x²)=1。上式两边对x求n阶导数，当n≥3时(1+x²)⁽ⁿ⁾=0，因此由莱布尼茨公式 C_n⁰(y’)⁽ⁿ⁾(1+x²)+C_n¹(y’)^(n-1)(1+x²)’+C_n²(y’)^(n-2)(1+x²)"=0，即 (1+x²)y⁽ⁿ⁺¹⁾+2nxy⁽ⁿ⁾+(n－1)ny^(n-1)=0。令x=0，得 y⁽ⁿ⁺¹⁾(0)+(n－1)ny^(n-1)(0)=0，根据该递推关系，则 y⁽ⁿ⁾(0)=(1－n)(n－2)y^(n-2)(0)，n≥2。由y(0)=0，y’(0)=1及上述递推公式，得 y^(2k)(0)=0，k=1，2，…； y^(2k+1)(0)=( －1)^k(2k)!，k=0，1，2，…。

解析

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考研数学一

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