(87年)设函数f(x)在闭区间[0，1]上可微，对于[0，1]上的每一个x，函数f(x)的值都在开区间(0，1)内，且f’(x)≠1，证明在(0，1)区间内有且仅有一个x，使得f(x)=x．

admin2017-04-20 60

问题 (87年)设函数f(x)在闭区间[0，1]上可微，对于[0，1]上的每一个x，函数f(x)的值都在开区间(0，1)内，且f’(x)≠1，证明在(0，1)区间内有且仅有一个x，使得f(x)=x．

选项

答案满足f(x)=x的x的存在性证法与上面相同，而唯一性可利用结论“若在(a，b)内f⁽ⁿ⁾(x)≠0，则方程f(x)=0在(a，b)内最多有n个实根”．由于F’(x)=f’(x)一1≠0，则F(x)=0在(0，1)内最多有一个根．原题得证．

解析

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考研数学一

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设F(x)=F(x)g(x)，其中函数f(x)，g(x)在(-∞，+∞)内满足以下条件：f’(x)=g(x)，g’(x)=f(x)且f(0)=0，f(x)+g(x)=2ex．求F(x)所满足的一阶微分方程；
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