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(87年)设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f’(x)≠1,证明在(0,1)区间内有且仅有一个x,使得f(x)=x.
(87年)设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f’(x)≠1,证明在(0,1)区间内有且仅有一个x,使得f(x)=x.
admin
2017-04-20
23
问题
(87年)设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f’(x)≠1,证明在(0,1)区间内有且仅有一个x,使得f(x)=x.
选项
答案
满足f(x)=x的x的存在性证法与上面相同,而唯一性可利用结论“若在(a,b)内f
(n)
(x)≠0,则方程f(x)=0在(a,b)内最多有n个实根”.由于F’(x)=f’(x)一1≠0,则F(x)=0在(0,1)内最多有一个根.原题得证.
解析
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