设f(x)在(0,+∞)内可导,下述论断正确的是 ( )

admin2022-09-14  30

问题 设f(x)在(0,+∞)内可导,下述论断正确的是    (    )

选项 A、设存在X>0,在区间(X,+∞)内fˊ(x)有界,则f(x)在(X,+∞)内亦必有界.
B、设存在X>0,在区间(X,+∞)内f(x)有界,则fˊ(x)在(X,+∞)内亦必有界.
C、设存在δ>0,在(0,δ)内fˊ(x)有界,则fˊ(x)在(0,δ)内亦必有界.
D、设存在δ>0,在(0,δ)内f(x)有界,则fˊ(x)在(0,δ)内亦必有界.

答案C

解析 对于区间(0,δ)内任意的x,再另取一固定的x1,有
f(x)-f(x1)=fˊ(ξ)(x-x1),
f(x)= f(x1)+ fˊ(ξ)(x-x1),
|f(x)|≤|f(x1)|+M| x-x1|≤|f(x1)|+Mδ,
所以f(x)在(0,δ)内必有界,其中M为|fˊ(x)|在(0,δ)内的一个上界.
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