以下3个命题， ①若数列{un}收敛于A，则其任意子数列{unj}必定收敛于A； ②若单调数列{xn}的某一子数列{xhj}收敛于A，则该数列必定收敛于A； ③若数列{x2n}与{x2n+1}都收敛于A，则数列{xn}必定收敛于A正

admin2019-05-15 50

问题以下3个命题，
①若数列{u_n}收敛于A，则其任意子数列{u_nj}必定收敛于A；
②若单调数列{x_n}的某一子数列{x_hj}收敛于A，则该数列必定收敛于A；
③若数列{x_2n}与{x_2n+1}都收敛于A，则数列{x_n}必定收敛于A正确的个数为 ( )

选项 A、0
B、1
C、2
D、3

答案D

解析对于命题①，由数列收敛的定义可知，若数列{u_n}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当n＞N时，恒有｜u_n-A｜＜ε．
可知当n_i＞N时，恒有｜u_ni-A｜＜ε
因此数列{u_ni}也收敛于A，可知命题正确．
对于命题②，不妨设数列{x_n}为单调增加的，即
x₁≤x₂≤…≤x_n≤…，其中某一给定子数列{x_ni}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当n_i＞N时，恒有
｜x_ni-A｜＜ε
由于数列{x_n}为单调增加的数列，对于任意的n＞N，必定存在n_i≤n≤n_i+1，有

从而｜x_n-A｜＜ε
可知数列{x_n}收敛于A因此命题正确．
对于命题③，因

，由极限的定义可知，对于任意给定的e＞0，必定存在自然数N₁，N₂：
当2n＞N₁时，恒有｜x_2n-A｜＜ε；
当2n+1＞N₂时，恒有｜x_2n+1-A｜＜ε．
取N=max{N₁，N₂)，则当n＞N时，总有｜x_n-A ｜＜ε．因此

．可知命题正确．
故答案选择(D)．

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考研数学一

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