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以下3个命题， ①若数列{un}收敛于A，则其任意子数列{unj}必定收敛于A； ②若单调数列{xn}的某一子数列{xhj}收敛于A，则该数列必定收敛于A； ③若数列{x2n}与{x2n+1}都收敛于A，则数列{xn}必定收敛于A正
以下3个命题， ①若数列{un}收敛于A，则其任意子数列{unj}必定收敛于A； ②若单调数列{xn}的某一子数列{xhj}收敛于A，则该数列必定收敛于A； ③若数列{x2n}与{x2n+1}都收敛于A，则数列{xn}必定收敛于A正
admin
2019-05-15
23
问题
以下3个命题，
①若数列{u
n
}收敛于A，则其任意子数列{u
nj
}必定收敛于A；
②若单调数列{x
n
}的某一子数列{x
hj
}收敛于A，则该数列必定收敛于A；
③若数列{x
2n
}与{x
2n+1
}都收敛于A，则数列{x
n
}必定收敛于A正确的个数为 ( )
选项
A、0
B、1
C、2
D、3
答案
D
解析
对于命题①，由数列收敛的定义可知，若数列{u
n
}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当n＞N时，恒有｜u
n
-A｜＜ε．
可知当n
i
＞N时，恒有 ｜u
ni
-A｜＜ε
因此数列{u
ni
}也收敛于A，可知命题正确．
对于命题②，不妨设数列{x
n
}为单调增加的，即
x
1
≤x
2
≤…≤x
n
≤…，其中某一给定子数列{x
ni
}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当n
i
＞N时，恒有
｜x
ni
-A｜＜ε
由于数列{x
n
}为单调增加的数列，对于任意的n＞N，必定存在n
i
≤n≤n
i+1
，有
从而 ｜x
n
-A｜＜ε
可知数列{x
n
}收敛于A因此命题正确．
对于命题③，因
，由极限的定义可知，对于任意给定的e＞0，必定存在自然数N
1
，N
2
：
当2n＞N
1
时，恒有 ｜x
2n
-A｜＜ε；
当2n+1＞N
2
时，恒有 ｜x
2n+1
-A｜＜ε．
取N=max{N
1
，N
2
)，则当n＞N时，总有｜x
n
-A ｜＜ε．因此
．可知命题正确．
故答案选择(D)．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/UK04777K
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考研数学一
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