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计算下列三重积分或将三重积分化成累次积分 I=x2y2zdV,其中Ω是由x=1,x=2,y=0,y=x2,z=0及z=1/x所围成的区域.
计算下列三重积分或将三重积分化成累次积分 I=x2y2zdV,其中Ω是由x=1,x=2,y=0,y=x2,z=0及z=1/x所围成的区域.
admin
2018-06-15
20
问题
计算下列三重积分或将三重积分化成累次积分
I=
x
2
y
2
zdV,其中Ω是由x=1,x=2,y=0,y=x
2
,z=0及z=1/x所围成的区域.
选项
答案
(Ⅰ)区域Ω由平面x=1,x=2,y=0,z=0及抛物柱面y=x
2
与双曲柱面z=1/x围成,易求出Ω在xy平面(或zx平面)上的投影区域D
xy
(或D
zx
).D
xy
由x=1,x=2,y=0,y=x
2
围成, D
xy
={(x,y)|1≤x≤2,0≤y≤x
2
},见图9.17—(a). [*] D
zx
由x=1,x=2,z=0,z=1/x围成,即 D
zx
={(z,x)|1≤x≤2,0≤z≤1/x},见图9.17—(b). [*] 于是Ω={(x,y,z)|0≤z≤1/x,(x,y)∈D
xy
}, 或Ω={(x,y,z)|0≤y≤x
2
,(z,x)∈D
zx
}. (Ⅱ)根据Ω的表示,宜选择先对z(或y)积分后对xy(或zx)积分的顺序. 若先对z积分得 [*] 若先对y积分得 [*] =1/3∫
1
2
dx∫
0
1/x
x
9
zdz=1/6∫
1
2
x
7
dx=85/16.
解析
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考研数学一
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