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已知二次型f(x1,x2,x3)=xT(ATA)x的秩为2。 (Ⅰ)求实数a的值; (Ⅱ)求正交变换x=Qy将f化为标准形。
已知二次型f(x1,x2,x3)=xT(ATA)x的秩为2。 (Ⅰ)求实数a的值; (Ⅱ)求正交变换x=Qy将f化为标准形。
admin
2017-12-29
40
问题
已知
二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
(A
T
A)x的秩为2。
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)求正交变换x=Qy将f化为标准形。
选项
答案
(Ⅰ)A
T
A=[*] 由r(A
T
A)=2可得 |A
T
A|=[*]=(a+1)
2
(a
2
+3)=0, 所以a=一1。 (Ⅱ)由(Ⅰ)中结果,令矩阵 [*] 解得矩阵B的特征值为λ
1
=0,λ
2
=2,λ
3
6。 由(λ
i
E—B)x=0,得对应特征值λ
1
=0,λ
2
=2,λ
3
=6的特征向量分别为 η
1
=(一1,一1,1)
T
,η
2
=(一1,1,0)
T
,η
3
=(1,1,2)
T
。 将η
1
,η
2
,η
3
单位化可得: [*] 令 Q=(α
1
,α
2
,α
3
)=[*] 则正交变换X=Qy可将原二次型化为2y
2
2
+6y
3
2
。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/UQX4777K
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考研数学三
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