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设|f’(x)|≤M,x∈[0,1],且f(0)=f(1)=,试证:
设|f’(x)|≤M,x∈[0,1],且f(0)=f(1)=,试证:
admin
2020-03-05
8
问题
设|f’(x)|≤M,x∈[0,1],且f(0)=f(1)=,试证:
选项
答案
因为 ∫
0
1
f(x)dx=∫
0
1
f(x)d(x-c)=(x—c)f(x)|
0
1
一∫
0
1
(x—c)f’(x)dx =-∫
0
1
(x—c)f’(x)dx 所以,|∫
0
1
f(x)dx|≤|∫
0
1
(x-c) f’ (x)dx|≤∫
0
1
|(x-c)||f’(x)| dx≤M∫
0
1
|x-c|dx=M[∫
0
c
(c-x)dx+∫
c
1
(x-c)dx] [*]
解析
要证结论是比较积分与被积函数的导函数值之大小,用分部积分法建立f(x)与f(x)定积分的关系式,然后再放缩.由f(0)=f(1)=0可知,分部积分应注意应用小技巧dx=d(x—c),c∈[0,1].
涉及f(x)的积分值与f’(x)函数值的大小比较问题,一般可考虑用微分中值定理、牛顿—莱布尼兹公式或分部积分先作处理,然后放缩.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/USS4777K
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考研数学一
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