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  3. 设｜f’(x)｜≤M，x∈[0，1]，且f(0)=f(1)=，试证：

设｜f’(x)｜≤M，x∈[0，1]，且f(0)=f(1)=，试证：

admin2020-03-05  1
问题 设｜f’(x)｜≤M，x∈[0，1]，且f(0)=f(1)=，试证：
选项
答案因为 ∫01f(x)dx=∫01f(x)d(x－c)=(x—c)f(x)｜01 一∫01 (x—c)f’(x)dx =－∫01 (x—c)f’(x)dx 所以，｜∫01 f(x)dx｜≤｜∫01(x－c) f’ (x)dx｜≤∫01｜(x－c)｜｜f’(x)｜ dx≤M∫01｜x－c｜dx=M[∫0c(c－x)dx+∫c1(x－c)dx] [*]
解析 要证结论是比较积分与被积函数的导函数值之大小，用分部积分法建立f(x)与f(x)定积分的关系式，然后再放缩．由f(0)=f(1)=0可知，分部积分应注意应用小技巧dx=d(x—c)，c∈[0，1]．
涉及f(x)的积分值与f’(x)函数值的大小比较问题，一般可考虑用微分中值定理、牛顿—莱布尼兹公式或分部积分先作处理，然后放缩．
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考研数学一

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