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[2003年] 设函数y=y(x)在(-∞,+∞)内具有二阶导数,且y’≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数. 求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y’(0)=3/2的解.
[2003年] 设函数y=y(x)在(-∞,+∞)内具有二阶导数,且y’≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数. 求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y’(0)=3/2的解.
admin
2019-04-08
106
问题
[2003年] 设函数y=y(x)在(-∞,+∞)内具有二阶导数,且y’≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数.
求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y’(0)=3/2的解.
选项
答案
由上一题,方程①所对应的齐次方程y’’一y=0的通解为y=c
1
e
x
+c
2
e
-x
. 设方程①的特解为 y
*
=Acosx+Bsinx, 代入方程①求得A=0,B=一1/2,故y
*
=一(1/2)sinx,从而y’’一y=sinx的通解是 y(x)=c
1
e
x
+c
2
e
-x
-(1/2)sinx. 由y(0)=0,y’(0)=3/2,得c
1
=1,c
2
=一1,故满足初始条件的解为 y(x)=e
x
一e
-x
一(1/2)sinx.
解析
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考研数学一
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