[2003年] 设函数y=y(x)在(-∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=3／2的解．

admin2019-04-08 77

问题 [2003年] 设函数y=y(x)在(-∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．
求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=3／2的解．

选项

答案由上一题，方程①所对应的齐次方程y’’一y=0的通解为y=c₁e^x+c₂e^-x．设方程①的特解为 y^*=Acosx+Bsinx，代入方程①求得A=0，B=一1／2，故y^*=一(1／2)sinx，从而y’’一y=sinx的通解是 y(x)=c₁e^x+c₂e^-x-(1／2)sinx．由y(0)=0，y’(0)=3／2，得c₁=1，c₂=一1，故满足初始条件的解为 y(x)=e^x一e^-x一(1／2)sinx．

解析

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考研数学一

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