[2003年] 设函数y=y(x)在(-∞,+∞)内具有二阶导数,且y’≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数. 求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y’(0)=3/2的解.

admin2019-04-08  53

问题 [2003年]  设函数y=y(x)在(-∞,+∞)内具有二阶导数,且y’≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数.
求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y’(0)=3/2的解.

选项

答案由上一题,方程①所对应的齐次方程y’’一y=0的通解为y=c1ex+c2e-x. 设方程①的特解为 y*=Acosx+Bsinx, 代入方程①求得A=0,B=一1/2,故y*=一(1/2)sinx,从而y’’一y=sinx的通解是 y(x)=c1ex+c2e-x-(1/2)sinx. 由y(0)=0,y’(0)=3/2,得c1=1,c2=一1,故满足初始条件的解为 y(x)=ex一e-x一(1/2)sinx.

解析
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