设 (1)计算A2，并将A2用A和E线性表出； (2)证明：当k＞2时，Ak=0的充分必要条件为A2=0．

admin2018-09-25 40

问题设

(1)计算A²，并将A²用A和E线性表出；
(2)证明：当k＞2时，A^k=0的充分必要条件为A²=0．

选项

答案(1)[*] 解得x=a+d，y=bc－ad，即 A²=(a+d)A+(bc－ad)E． (2)充分性 A²=O=>A^k=O，k＞2，显然成立；必要性 A^k=O=>｜A｜=ad－bc=0，由(1)知A²=(a+d)A，于是A^k=(a+d)^k－1.A=0，故A=0或a+d=0，从而有A²=(a+d)A=O．

解析

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考研数学一

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设A2=A，A≠E(单位矩阵)，证明：｜A｜=0．
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设f(x)在[a，b]上可导，且f′+(a)与f′－(b)反号，证明：存在ξ∈(a，b)使得f′(ξ)=0．
设n维列向量α1，α2，…，αn－1，β线性无关，且与非零向量β1，β2都正交．证明β1，β2线性相关，α1，α2，…，αn－1，β1线性无关．
求下列曲线积分：(Ⅰ)I=∮L｜xy｜ds，其中L：=1(a＞b＞0)；(Ⅱ)I=∫Ly2ds，其中平面曲线L为旋轮线(0≤t≤2π)的一拱；(Ⅲ)I=∫L(x+y)ds，其中L为双纽线r2=a2cos2θ(极坐标方程)的右面一瓣．
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