2. 考研
  3. 设A，B为n阶矩阵，下列命题成立的是( )．

设A，B为n阶矩阵，下列命题成立的是( )．

admin2020-01-15  28
问题 设A，B为n阶矩阵，下列命题成立的是(    )．
选项 A、A与B均不可逆的充要条件是AB不可逆
B、R(A)＜n与R(B)＜n均成立的充要条件是R(AB)＜n
C、Ax=0与Bx=0同解的充要条件是A与B等价
D、A与B相似的充要条件是E—A与E—B相似
答案D
解析 【思路探索】通过举反例排除(A)、(B)、(C)项．
(A)项与(B)项类似，故均错误，而(C)项仅是必要而非充分条件．故应选(D)．
事实上，若A～B，则由相似矩阵的性质知E—A～E一B；
反之，若E—A～E—B，则E一(E一A)～E一(E—B)，即A～B．
对于选项(A)，若A与B均不可逆，则｜A｜=｜B｜=0，从而｜AB｜=｜A｜｜B｜=0，即AB不可逆．但若AB不可逆，推出A与B均不可逆．如 A=E，B=，则AB=B，不可逆，但A可逆．
对于选项(B)，与选项(A)相近，由于R(AB)≤min{R(A)，R(B)}，故若R(A)＜n与R(B)＜n均成立，则R(AB)＜n，但反之，若R(AB)＜n，推不出R(A)＜n或R(B)＜n，如A=E,B=，则R(AB)=R(B)=1＜2，但R(A)=2．
对于选项(C)，由同型矩阵A与B等价→R(A)=R(B)可知，若Ax=0与Bx=0同解，则A与B等价，但反之不然．如，则A，B等价，但Ax=0与Bx=0显然不同解．
故应选(D)．
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考研数学二

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