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设A,B为n阶矩阵,下列命题成立的是( ).
设A,B为n阶矩阵,下列命题成立的是( ).
admin
2020-01-15
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问题
设A,B为n阶矩阵,下列命题成立的是( ).
选项
A、A与B均不可逆的充要条件是AB不可逆
B、R(A)<n与R(B)<n均成立的充要条件是R(AB)<n
C、Ax=0与Bx=0同解的充要条件是A与B等价
D、A与B相似的充要条件是E—A与E—B相似
答案
D
解析
【思路探索】通过举反例排除(A)、(B)、(C)项.
(A)项与(B)项类似,故均错误,而(C)项仅是必要而非充分条件.故应选(D).
事实上,若A~B,则由相似矩阵的性质知E—A~E一B;
反之,若E—A~E—B,则E一(E一A)~E一(E—B),即A~B.
对于选项(A),若A与B均不可逆,则|A|=|B|=0,从而|AB|=|A||B|=0,即AB不可逆.但若AB不可逆,推出A与B均不可逆.如 A=E,B=
,则AB=B,不可逆,但A可逆.
对于选项(B),与选项(A)相近,由于R(AB)≤min{R(A),R(B)},故若R(A)<n与R(B)<n均成立,则R(AB)<n,但反之,若R(AB)<n,推不出R(A)<n或R(B)<n,如A=E,B=
,则R(AB)=R(B)=1<2,但R(A)=2.
对于选项(C),由同型矩阵A与B等价→R(A)=R(B)可知,若Ax=0与Bx=0同解,则A与B等价,但反之不然.如
,则A,B等价,但Ax=0与Bx=0显然不同解.
故应选(D).
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考研数学二
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