设函数f(x)具有任意阶导数,且f’(x)=[f(x)]2,则f(n)(x)= ( )

admin2019-08-12  32

问题 设函数f(x)具有任意阶导数,且f’(x)=[f(x)]2,则f(n)(x)=    (    )

选项 A、n[f(x)]n+1
B、n![f(x)]n+1
C、(n+1)[f(x)]n+1
D、(n+1)![f(x)]n+1

答案B

解析 由f’(x)=[f(x)]2
    f"(x)=[f’(x)]’=[(f(x))2]’=2f(x)f’(x)=2[f(x)]3
这样n=1,2时f(n)(x)=n![f(x)]n+1成立.假设n=k时,f(k)(x)=k![f(x)]k+1.则当n=k+1时,有
    fk+1(x)=[k!(f(x))k+1]’=(k+1)![f(x)]kf’(x)=(k+1)![f(x)]k+2,由数学归纳法可知,结论成立,故选(B).
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