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(1999年)设X1，X2，…，X9是来自正态总体X的简单随机样本，Y1=(X1+X2+…+X6)，Y2=(X7+X8+X9)，S2=(Xi-Y2)2，Z=，证明统计量Z服从自由度为2的t分布。
(1999年)设X1，X2，…，X9是来自正态总体X的简单随机样本，Y1=(X1+X2+…+X6)，Y2=(X7+X8+X9)，S2=(Xi-Y2)2，Z=，证明统计量Z服从自由度为2的t分布。
admin
2018-04-23
47
问题
(1999年)设X
1
，X
2
，…，X
9
是来自正态总体X的简单随机样本，Y
1
=
(X
1
+X
2
+…+X
6
)，Y
2
=
(X
7
+X
8
+X
9
)，S
2
=
(X
i
-Y
2
)
2
，Z=
，证明统计量Z服从自由度为2的t分布。
选项
答案
由于X
2
，…，X
9
是来自总体X的简单随机样本，故X
1
，…，X
9
独立。 设X～N(u，σ
2
)，则X
1
，…，X
9
～N(u，σ
2
)，又因为服从正态分布的独立随机变量其线性组合也服从正态分布，则 Y
1
=[*](X
1
+X
2
+…+X
6
)～N(u’，σ’
2
／6)， 其中 u’=E(Y
1
)=E[ [*](X
1
+X
2
+…+X
6
)] =[*][E(X
1
)+E(X
2
)++E(X
6
)]=[*]=u， σ’
2
=D(Y
1
)=D[ [*](X
1
+X
2
+…+X
6
)]=[*](X
1
+X
2
+…+X
6
) 故 Y
1
～N(u，σ
2
／6) 同理，因为Y
2
=[*](X
7
+X
8
+X
9
)，所以Y
2
～N(u，σ
2
／3)。 又由于Y
1
，Y
2
独立，且都服从正态分布，故Y
1
-Y
2
也服从正态分布，其期望方差分别为： E(Y
1
-Y
2
)=E(Y
1
)-E(Y
2
)=u-u=0，D(Y
1
-Y
2
)=D(Y
1
)+D(Y
2
)=σ
2
／6+σ
2
／3=σ
2
／2， 得 Y
1
～Y
2
～N(0，σ
2
／2)， 将Y
1
-Y
2
标准化得 [*] 由正态总体样本方差的性质：[(n-1)S
2
]／σ
2
～χ
2
(n-1)～χ
2
(2)，因S
2
与Y
2
独立(由于样本方差与样本均值独立)。 而Y
1
与S
2
独立，故U=[*]独立。所以由t分布的定义有： [*] 化简上式 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/UdX4777K
0
考研数学三
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