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(1999年)设X1,X2,…,X9是来自正态总体X的简单随机样本,Y1=(X1+X2+…+X6),Y2=(X7+X8+X9),S2=(Xi-Y2)2,Z=,证明统计量Z服从自由度为2的t分布。
(1999年)设X1,X2,…,X9是来自正态总体X的简单随机样本,Y1=(X1+X2+…+X6),Y2=(X7+X8+X9),S2=(Xi-Y2)2,Z=,证明统计量Z服从自由度为2的t分布。
admin
2018-04-23
46
问题
(1999年)设X
1
,X
2
,…,X
9
是来自正态总体X的简单随机样本,Y
1
=
(X
1
+X
2
+…+X
6
),Y
2
=
(X
7
+X
8
+X
9
),S
2
=
(X
i
-Y
2
)
2
,Z=
,证明统计量Z服从自由度为2的t分布。
选项
答案
由于X
2
,…,X
9
是来自总体X的简单随机样本,故X
1
,…,X
9
独立。 设X~N(u,σ
2
),则X
1
,…,X
9
~N(u,σ
2
),又因为服从正态分布的独立随机变量其线性组合也服从正态分布,则 Y
1
=[*](X
1
+X
2
+…+X
6
)~N(u’,σ’
2
/6), 其中 u’=E(Y
1
)=E[ [*](X
1
+X
2
+…+X
6
)] =[*][E(X
1
)+E(X
2
)++E(X
6
)]=[*]=u, σ’
2
=D(Y
1
)=D[ [*](X
1
+X
2
+…+X
6
)]=[*](X
1
+X
2
+…+X
6
) 故 Y
1
~N(u,σ
2
/6) 同理,因为Y
2
=[*](X
7
+X
8
+X
9
),所以Y
2
~N(u,σ
2
/3)。 又由于Y
1
,Y
2
独立,且都服从正态分布,故Y
1
-Y
2
也服从正态分布,其期望方差分别为: E(Y
1
-Y
2
)=E(Y
1
)-E(Y
2
)=u-u=0,D(Y
1
-Y
2
)=D(Y
1
)+D(Y
2
)=σ
2
/6+σ
2
/3=σ
2
/2, 得 Y
1
~Y
2
~N(0,σ
2
/2), 将Y
1
-Y
2
标准化得 [*] 由正态总体样本方差的性质:[(n-1)S
2
]/σ
2
~χ
2
(n-1)~χ
2
(2),因S
2
与Y
2
独立(由于样本方差与样本均值独立)。 而Y
1
与S
2
独立,故U=[*]独立。所以由t分布的定义有: [*] 化简上式 [*]
解析
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考研数学三
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