设n阶方阵A、B可交换，即AB=BA，且A有n个互不相同的特征值，证明：A与B有相同的特征向量．B相似于对角矩阵．

admin2017-06-14 34

问题设n阶方阵A、B可交换，即AB=BA，且A有n个互不相同的特征值，证明：A与B有相同的特征向量．B相似于对角矩阵．

选项

答案由于n阶方阵A有n个互不相同的特征值，故A有n个线性无关的特征向量，若A与B有相同的特征向量，则n阶方阵B有n个线性无关的特征向量，故B相似于对角矩阵．设α为A的特征向量，对应的特征值为λ，则Aα=λα，两端左乘B，并利用AB=BA，得A(Bα)=λ(Bα)，若Bα≠0，则Bα亦为A的属于特征值λ的特征向量，由题设条件知λ为单特征值，因此向量α及Bα又成比例，即存在数μ，使得Bα=μα，因此α也是B的特征向量；若Bα=0，则Bα=0α，即α为B属于特征值0的特征向量，总之，α必为B的特征向量．由于α的任意性，知A的特征向量都是B的特征向量，同理可证B的特征向量也都是A的特征向量，所以A与B有相同的特征向量．

解析

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考研数学一

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