正定矩阵, (Ⅰ)求a; (Ⅱ)求当|X|=时XTAX的最大值.

admin2013-08-30  34

问题 正定矩阵,
(Ⅰ)求a;
(Ⅱ)求当|X|=时XTAX的最大值.

选项

答案(Ⅰ)因为方程组有非零解,所以[*] 即a=-1或a=0或a=3,因为A是正定矩阵,所以aii>0(i=1,2,3),所以a=3; (Ⅱ)当a=3时,由|λE-A|=[*] 得A的特征值为1、4、10,因为A为实对称矩阵, [*]

解析 本题应先求出特征值,由题设三阶矩阵要有三个线性无关的特征向量,重特征值对应的线性无关特征向量的个数必须等于特征值的重数,相应的特征矩阵的秩r(λE-A)=n-特征值的重数,由此导出参数应满足的条件
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