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设A,B均为n阶矩阵,A有n个互不相同的特征值,且AB=BA.证明:B相似于对角矩阵.
设A,B均为n阶矩阵,A有n个互不相同的特征值,且AB=BA.证明:B相似于对角矩阵.
admin
2018-09-25
35
问题
设A,B均为n阶矩阵,A有n个互不相同的特征值,且AB=BA.证明:B相似于对角矩阵.
选项
答案
A有n个互不相同的特征值,故存在可逆矩阵P,使得P
-1
AP=diag(λ
1
,λ
2
,…,λ
n
)= Λ
1
,其中λ
i
(i=1,2,…,n)是A的特征值,且λ
i
≠λ
j
(i≠j). 又AB=BA,故P
-1
APP
-1
BP=P
-1
BPP
-1
AP,即Λ
1
P
-1
BP=P
-1
BPΛ
1
. 设P
-1
BP=(c
ij
)
n×n
,则 [*] 比较对应元素λ
i
c
ij
=λ
j
c
ij
,即(λ
i
-λ
j
)c
ij
=0,λ
i
≠λ
j
(i≠j),得c
ij
=0,于是 P
-1
BP= [*] =Λ
2
,即B~Λ
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Ueg4777K
0
考研数学一
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