设A，B均为n阶矩阵，A有n个互不相同的特征值，且AB=BA．证明：B相似于对角矩阵．

admin2018-09-25 49

问题设A，B均为n阶矩阵，A有n个互不相同的特征值，且AB=BA．证明：B相似于对角矩阵．

选项

答案A有n个互不相同的特征值，故存在可逆矩阵P，使得P^－1AP=diag(λ₁，λ₂，…，λ_n)= Λ₁，其中λ_i(i=1，2，…，n)是A的特征值，且λ_i≠λ_j(i≠j)．又AB=BA，故P^－1APP^－1BP=P^－1BPP^－1AP，即Λ₁P^－1BP=P^－1BPΛ₁．设P^－1BP=(c_ij)_n×n，则 [*] 比较对应元素λ_ic_ij=λ_jc_ij，即(λ_i－λ_j)c_ij=0，λ_i≠λ_j(i≠j)，得c_ij=0，于是 P^－1BP= [*] =Λ₂，即B～Λ₂．

解析

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考研数学一

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