2. 考研
  3. 设A，B均为n阶矩阵，A有n个互不相同的特征值，且AB=BA．证明：B相似于对角矩阵．

设A，B均为n阶矩阵，A有n个互不相同的特征值，且AB=BA．证明：B相似于对角矩阵．

admin2018-09-25  31
问题 设A，B均为n阶矩阵，A有n个互不相同的特征值，且AB=BA．证明：B相似于对角矩阵．
选项
答案A有n个互不相同的特征值，故存在可逆矩阵P，使得P－1AP=diag(λ1，λ2，…，λn)= Λ1，其中λi(i=1，2，…，n)是A的特征值，且λi≠λj(i≠j)． 又AB=BA，故P－1APP－1BP=P－1BPP－1AP，即Λ1P－1BP=P－1BPΛ1． 设P－1BP=(cij)n×n，则 [*] 比较对应元素λicij=λjcij，即(λi－λj)cij=0，λi≠λj(i≠j)，得cij=0，于是 P－1BP= [*] =Λ2，即B～Λ2．
解析
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考研数学一

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