设非零n维列向量α，β正交且A=αβT．证明：A不可以相似对角化．

admin2021-11-15 26

问题设非零n维列向量α，β正交且A=αβ^T．证明：A不可以相似对角化．

选项

答案令λ为矩阵A的特征值，X为λ所对应的特征向量，则AX=λX，显然A²X=λ²X，因为α，β正交，所以A²=αβ^T·αβ^T=0，于是λ²X=0，而X≠0，故矩阵A的特征值为λ₁=λ₂=…=λ_n=0. 又由α，β都是非零向量得A≠0，因为r(0E-A)=r(A)≥1，所以n-r(0E-A)≤n-1≤n，所以A²=αβ^T·αβ^T=0，于是λ²X=0，而X≠0，故矩阵A的特征值为λ₁=λ₂=…=λ_n=0 因为r(0E-A)=r(A)≥1，所以n-r(0E-A)≤n-1＜n，所以A不可相似对角化.

解析

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考研数学二

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