设非零n维列向量α,β正交且A=αβT.证明:A不可以相似对角化.

admin2021-11-15  21

问题 设非零n维列向量α,β正交且A=αβT.证明:A不可以相似对角化.

选项

答案令λ为矩阵A的特征值,X为λ所对应的特征向量,则AX=λX,显然A2X=λ2X,因为α,β正交,所以A2=αβT·αβT=0,于是λ2X=0,而X≠0,故矩阵A的特征值为λ12=…=λn=0. 又由α,β都是非零向量得A≠0, 因为r(0E-A)=r(A)≥1,所以n-r(0E-A)≤n-1≤n,所以A2=αβT·αβT=0,于是λ2X=0,而X≠0,故矩阵A的特征值为λ12=…=λn=0 因为r(0E-A)=r(A)≥1,所以n-r(0E-A)≤n-1<n,所以A不可相似对角化.

解析
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