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设非零n维列向量α,β正交且A=αβT.证明:A不可以相似对角化.
设非零n维列向量α,β正交且A=αβT.证明:A不可以相似对角化.
admin
2021-11-15
32
问题
设非零n维列向量α,β正交且A=αβ
T
.证明:A不可以相似对角化.
选项
答案
令λ为矩阵A的特征值,X为λ所对应的特征向量,则AX=λX,显然A
2
X=λ
2
X,因为α,β正交,所以A
2
=αβ
T
·αβ
T
=0,于是λ
2
X=0,而X≠0,故矩阵A的特征值为λ
1
=λ
2
=…=λ
n
=0. 又由α,β都是非零向量得A≠0, 因为r(0E-A)=r(A)≥1,所以n-r(0E-A)≤n-1≤n,所以A
2
=αβ
T
·αβ
T
=0,于是λ
2
X=0,而X≠0,故矩阵A的特征值为λ
1
=λ
2
=…=λ
n
=0 因为r(0E-A)=r(A)≥1,所以n-r(0E-A)≤n-1<n,所以A不可相似对角化.
解析
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考研数学二
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