设二维非零向量a不是二阶方阵A的特征向量。若A2a+Aa-6a=0,求A的特征值，讨论A是否可对角化。

admin2019-09-29 60

问题设二维非零向量a不是二阶方阵A的特征向量。
若A²a+Aa-6a=0,求A的特征值，讨论A是否可对角化。

选项

答案由A²a+Aa-6a=0，得（A²+A-6E)a=0,因为a≠0,所以r(A²+A-6E)＜2,从而∣A²+A-6E∣=0,即 ∣3E+A∣·∣2E-A∣=0，则∣3E+A∣=0或∣2E-A∣=0。若∣3E+A∣≠0，则3E+A可逆，由（3E+A)(2E-A)a=0得（2E-A)a=0,即Aa=2a,与已知矛盾；若∣2E-A∣≠0，则2E-A可逆，由（2E-A)(3E+A)a=0,得（3E+A)a=0,即Aa=-3a,与已知条件矛盾，所以有∣3E+A∣=0且∣2E-A∣=0，于是二阶矩阵A由两个特征值-3,2，故A可对角化。

解析

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考研数学二

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