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  3. 设 A=αβT，B=βTα，其中βT是β的转置，求解方程 2B2A2x=A4x+B4x+γ．

设 A=αβT，B=βTα，其中βT是β的转置，求解方程 2B2A2x=A4x+B4x+γ．

admin2021-01-19  48
问题 设
A=αβT，B=βTα，其中βT是β的转置，求解方程
2B2A2x=A4x+B4x+γ．
选项
答案由题设得 [*] 又 A2=αβTαβT=α(βTα)βT=2A A4=(A2)2=(2A)2=8A 代入原方程，得 16Ax=8Ax+16x+γ 即 8(A一2E)x=γ(其中E是3阶单位矩阵)． 令x=(x1，x2，x3)T，代入上式，得非齐次线性方程组 [*] 解其对应的齐次方程组，得通解 ξ= k(11，2，1)T，(k为任意常数)， 显然，非齐次方程组有一个特解为 η*=(0，0，[*])T 于是所求方程的解为x=ξ+η*，即 [*] (k为任意常数)
解析 本题综合考查矩阵的运算和非齐次线性方程组的求解．注意，求方阵A的幂An，可以用数学归纳法，但本题在A=αβT的连乘式中会出现“左行乘右列”而得到“数”，故这里利用矩阵乘法结合律计算An最易．注意方阵(A一 2E)不可逆，因此不能利用逆矩阵法由方程8(A一2E)x=γ求出x，这时就要用元素法，即设出x=(x1，x2，x3)T，求解对应的非齐次方程组．
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考研数学二

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