设y″的系数为1的某二阶常系数非齐次线性微分方程的两个特解为y1=(1－x+x2)ex与y1= x2ex则该微分方程为______．

admin2019-07-28 53

问题设y″的系数为1的某二阶常系数非齐次线性微分方程的两个特解为y₁^*=(1－x+x²)e^x与y₁^*= x²e^x则该微分方程为______．

选项

答案y″－2yˊ+y=2e^x

解析 y₁^*－y₂^*=(1－x) e^x为对应的二阶常系数齐次线性方程的一个解，故知r=1是该齐次方程对应的特征方程的二重特征根，故特征方程为
r²－2r+1=0，
所以该二阶常系数齐次微分方程为
y″－2yˊ+y=0，
设该非齐次方程为
y″－2yˊ+y=f(x)．
将y₂^*=x²e^x代入上述方程的左边，得
f(x)=2e^x
所以该微分方程为y″－2yˊ+y==2e^x．

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