设凡维向量α1,α2,…,αs的秩为r,则下列命题正确的是

admin2014-02-06  31

问题 设凡维向量α1,α2,…,αs的秩为r,则下列命题正确的是

选项 A、α1,α2,…,αs中任何r一1个向量必线性无关.
B、α1,α2,…,αs中任何r个向量必线性无关.
C、如果s>n,则αs必可由α1,α2,…,αs-1线性表示.
D、如果r=n,则任何n维向量必可由α1,α2,…,αs线性表示.

答案D

解析 r(α1,α2……αs)=rα1,α2……αs中一定存在r个向量线性尢关,而任意r+1个向量必线性相关.当向量组的秩为,时,向量组中既可以有r一1个向量线性相关,也可以有。个向量线性相关,故A、B均错误.例如向量α1234分别为(1,0,0,0),(0,l,0,0),(0,0,1,0),(3,0,0,0),其秩为3,其中α14线性相关,α124也线性相关.该例说明,4维向量可以有2个向量线性相关,也可以有3个向量线性相关.但肯定有3个向量线性无关.当s>n时,表明α1,α2……αs必线性相关,此时有αi可以由α1,…,αi-1,αi+1,…,αs线性表示,但αs不一定能由α1,…αs-1线性表示.故C不正确.若r(α1,α2……αs)=n,则对任何n维向量卢必有r(α1,α2……αs…,,β)=n.故D正确.因此应选D.
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