设f(x)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,且f(x)≠0(1<x<2),又存在,证明: (1)存在ξ∈(1,2),使得. (2)存在7 E(1,2),使得∫18f(t)dt=ξ(ξ一1)f’(η)ln2.

admin2020-03-10  47

问题 设f(x)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,且f(x)≠0(1<x<2),又存在,证明:
    (1)存在ξ∈(1,2),使得.
    (2)存在7 E(1,2),使得∫18f(t)dt=ξ(ξ一1)f’(η)ln2.

选项

答案(1)令h(x)=lnx,F(x)=∫1xf(t)dt,且F’(x)=f(x)≠0, 由柯西中值定理,存在ξ∈(1,2),使得[*]. (2)由[*]得f(1)=0, 由拉格朗日中值定理得f(ξ)=f(ξ)一f(1)=f’(η)(ξ一1),其中1<η<ξ, 故∫12f(t)dt=ο(ξ一1)f’(η)ln2.

解析
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