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设函数f(x)在区间[1,+∞)上连续,若曲线y=f(x)与直线x=1,x=t(t>1)及x轴所围平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积为,求f(x)满足的微分方程,并求满足初值的解。
设函数f(x)在区间[1,+∞)上连续,若曲线y=f(x)与直线x=1,x=t(t>1)及x轴所围平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积为,求f(x)满足的微分方程,并求满足初值的解。
admin
2019-01-15
121
问题
设函数f(x)在区间[1,+∞)上连续,若曲线y=f(x)与直线x=1,x=t(t>1)及x轴所围平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积为
,求f(x)满足的微分方程,并求满足初值
的解。
选项
答案
由题设可得 [*] 即[*] 等式两边同时对t求导,得 3f
2
(t)=2tf(t)+t
2
f
’
(t), 即f(x)所满足的微分方程x
2
f
’
(x)+2xf(x)=3f
2
(x)。 记y=f(t),则有 [*] 这是关于y,t的齐次方程,令[*],则方程化为 [*] 即有 [*] 两端积分得In︱u-1︱-In︱u︱=3In︱t︱+In︱C︱, 即有 [*] 即有 [*] 于是[*]。由[*],得C=-1,因此所求特解为[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/UoP4777K
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考研数学三
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