设函数f(x)在区间[1，+∞)上连续，若曲线y=f(x)与直线x=1，x=t(t＞1)及x轴所围平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积为，求f(x)满足的微分方程，并求满足初值的解。

admin2019-01-15 137

问题设函数f(x)在区间[1，+∞)上连续，若曲线y=f(x)与直线x=1，x=t(t＞1)及x轴所围平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积为

，求f(x)满足的微分方程，并求满足初值

的解。

选项

答案由题设可得 [*] 即[*] 等式两边同时对t求导，得 3f²(t)=2tf(t)+t²f^’(t)，即f(x)所满足的微分方程x²f^’(x)+2xf(x)=3f²(x)。记y=f(t)，则有 [*] 这是关于y，t的齐次方程，令[*]，则方程化为 [*] 即有 [*] 两端积分得In︱u-1︱-In︱u︱=3In︱t︱+In︱C︱，即有 [*] 即有 [*] 于是[*]。由[*]，得C=-1，因此所求特解为[*]

解析

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