(99年)设函数f(χ)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)＝f(1)＝0，f()＝1．试证 (1)存在η∈(，1)，使f(η)＝η． (2)对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使得f′(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]＝1

admin2017-05-26 59

问题 (99年)设函数f(χ)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)＝f(1)＝0，f(

)＝1．试证
(1)存在η∈(

，1)，使f(η)＝η．
(2)对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使得f′(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]＝1

选项

答案(1)令φ(χ)＝f(χ)－χ，则φ(χ)在[0，1]上连续．又φ(1)＝－1＜0，[*]＞0，由介值定理可知，存在η∈([*]，1)，使得φ(η)＝f(η)－η＝0 即f(η)＝η (2)要证f′(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]＝1，即要证 [f′(ξ)－1]－λ[f(ξ)－ξ]＝0 也就是要证φ′(ξ)－λφ(ξ)＝0，因此构造辅助函数 F(χ)＝e^-λχφ(χ)＝e^－λχ[f(χ)－χ] 则F(χ)在[0，η]上满足罗尔定理的条件，故存在ξ∈(0，η)．使得F′(ξ)＝0．即e^－λξ[φ′(ξ)－λφ(ξ)]＝0 而e^－λξ≠0，从而有φ′(ξ)－λφ(ξ)＝0 即f′(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]＝1

解析

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考研数学三

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(99年)设函数f(χ)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)＝f(1)＝0，f()＝1．试证 (1)存在η∈(，1)，使f(η)＝η． (2)对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使得f′(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]＝1

考研数学三

[*]

A、 B、 C、 D、 D

A、B均为n阶方阵，则C的伴随矩阵C’=()．

设a1，a2，a3，a4是四维非零列向量组，A=(a1，a2，a3，a4)，A为A的伴随矩阵，已知方程组AX=0的通解为X=k(0，1，I，0)T，则方程组AX=0的基础解系为()．

设随机变量X与Y，的联合分布函数为则随机变量X的分布函数为_____．

随机变量X的分布律为则y=X2+1的分布律为_____．

函数I(x)在区间[一1，1]上的最大值为

设F(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数F’(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0．试应用拉格朗日中值定理证明不等式：F(a+b)≤F(a)+F(b)，其中常数，a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c．

设f(x)与x为等价无穷小，且f(x)≠x，则当x→0+时，[f(x)]x一xx是

求f(x，y，z)=2x+2y—z2+5在区域Ω：x2+y2+z2≤2上的最大值与最小值．

试述太平天国农民战争的意义。

阅读《答李翊书》中的一段文字，然后回答问题。气，水也；言，浮物也。水大而物之浮者大小毕浮。气之与言犹是也，气盛则言之短长与声之高下者皆宜。……“气”和“言”指的是什么?

关于犯罪嫌疑人、被告人逃匿、死亡案件违法所得的没收程序，下列哪一说法是正确的?(2012年试卷2第38题)

以下对爆破作业描述不正确的是()。(1)雷雨季节宜采用电雷管起爆法起爆。(2)炸药反应不完全时，不会引起有毒气体含量增加。(3)同一爆破网络应使用同厂、同批、同型号的电雷管。(4)处理盲炮时进行安全警戒。

行业的成长实际上是指(　　)。

企业会计方法和程序前后各期(　　)。

根据《企业所得税法》及其实施条例的有关规定，不得提取折旧的固定资产是()。

出境旅游领队带领旅游团入中国境的服务包括()

(2015·河南)既是课程标准的具体化，也是师生进行教学的主要依据的是教科书。()

(99年)设函数f(χ)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)＝f(1)＝0，f()＝1．试证 (1)存在η∈(，1)，使f(η)＝η． (2)对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使得f′(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]＝1

考研数学三

[*]

A、 B、 C、 D、 D

A、B均为n阶方阵，则C的伴随矩阵C’=()．

设a1，a2，a3，a4是四维非零列向量组，A=(a1，a2，a3，a4)，A*为A的伴随矩阵，已知方程组AX=0的通解为X=k(0，1，I，0)T，则方程组A*X=0的基础解系为()．

设随机变量X与Y，的联合分布函数为则随机变量X的分布函数为_____．

随机变量X的分布律为则y=X2+1的分布律为_____．

函数I(x)在区间[一1，1]上的最大值为

设F(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数F’(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0．试应用拉格朗日中值定理证明不等式：F(a+b)≤F(a)+F(b)，其中常数，a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c．

设f(x)与x为等价无穷小，且f(x)≠x，则当x→0+时，[f(x)]x一xx是

求f(x，y，z)=2x+2y—z2+5在区域Ω：x2+y2+z2≤2上的最大值与最小值．

试述太平天国农民战争的意义。

阅读《答李翊书》中的一段文字，然后回答问题。气，水也；言，浮物也。水大而物之浮者大小毕浮。气之与言犹是也，气盛则言之短长与声之高下者皆宜。……“气”和“言”指的是什么?

关于犯罪嫌疑人、被告人逃匿、死亡案件违法所得的没收程序，下列哪一说法是正确的?(2012年试卷2第38题)

以下对爆破作业描述不正确的是()。(1)雷雨季节宜采用电雷管起爆法起爆。(2)炸药反应不完全时，不会引起有毒气体含量增加。(3)同一爆破网络应使用同厂、同批、同型号的电雷管。(4)处理盲炮时进行安全警戒。

行业的成长实际上是指( )。

企业会计方法和程序前后各期( )。

根据《企业所得税法》及其实施条例的有关规定，不得提取折旧的固定资产是()。

出境旅游领队带领旅游团入中国境的服务包括()

(2015·河南)既是课程标准的具体化，也是师生进行教学的主要依据的是教科书。()

设a1，a2，a3，a4是四维非零列向量组，A=(a1，a2，a3，a4)，A为A的伴随矩阵，已知方程组AX=0的通解为X=k(0，1，I，0)T，则方程组AX=0的基础解系为()．

行业的成长实际上是指(　　)。

企业会计方法和程序前后各期(　　)。