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(99年)设函数f(χ)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f()=1.试证 (1)存在η∈(,1),使f(η)=η. (2)对任意实数λ,必存在ξ∈(0,η),使得f′(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1
(99年)设函数f(χ)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f()=1.试证 (1)存在η∈(,1),使f(η)=η. (2)对任意实数λ,必存在ξ∈(0,η),使得f′(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1
admin
2017-05-26
55
问题
(99年)设函数f(χ)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(
)=1.试证
(1)存在η∈(
,1),使f(η)=η.
(2)对任意实数λ,必存在ξ∈(0,η),使得f′(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1
选项
答案
(1)令φ(χ)=f(χ)-χ,则φ(χ)在[0,1]上连续.又φ(1)=-1<0,[*]>0,由介值定理可知,存在η∈([*],1),使得φ(η)=f(η)-η=0 即f(η)=η (2)要证f′(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1,即要证 [f′(ξ)-1]-λ[f(ξ)-ξ]=0 也就是要证φ′(ξ)-λφ(ξ)=0,因此构造辅助函数 F(χ)=e
-λχ
φ(χ)=e
-λχ
[f(χ)-χ] 则F(χ)在[0,η]上满足罗尔定理的条件,故存在ξ∈(0,η).使得F′(ξ)=0. 即e
-λξ
[φ′(ξ)-λφ(ξ)]=0 而e
-λξ
≠0,从而有φ′(ξ)-λφ(ξ)=0 即f′(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/PCH4777K
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考研数学三
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