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设A是n阶实对称矩阵,B,C为n阶矩阵,满足条件 (A+2E)B=O,(A一3E)C=O, 且r(B)=r(0<r<n),r(B)+r(C)=n.则二次型f(x1,x2,…,xn)=XTAX的规范形为___________.
设A是n阶实对称矩阵,B,C为n阶矩阵,满足条件 (A+2E)B=O,(A一3E)C=O, 且r(B)=r(0<r<n),r(B)+r(C)=n.则二次型f(x1,x2,…,xn)=XTAX的规范形为___________.
admin
2018-03-30
65
问题
设A是n阶实对称矩阵,B,C为n阶矩阵,满足条件
(A+2E)B=O,(A一3E)C=O,
且r(B)=r(0<r<n),r(B)+r(C)=n.则二次型f(x
1
,x
2
,…,x
n
)=X
T
AX的规范形为___________.
选项
答案
y
1
2
+y
2
2
+…+y
n
2
一y
n—r+1
2
一…一y
n
2
解析
因(A+2E)B=O,r(B)=r,则B中列向量组的极大线性无关组向量个数为r,且该极大线性无关组是(A+2E)X=0的解,设为β
1
,β
2
,β
3
,也是A的对应于特征值λ=一2的线性无关的特征向量.
又(A一3E)C=O,因r(C)=n一r(B)=n一r,故C中列向量组的极大线性无关组向量个数为
n一r,且该极大线性无关组是(A一3E)X=0的解,也是A的对应于特征值λ=3的线性无关的特征向量,记为γ
1
,γ
2
,…,γ
n—r
,故X
T
AX的正惯性指数为n一r,负惯性指数为r.
故知f(x
1
,x
2
,…,x
n
)=X
T
AX的规范形为
y
1
2
+y
2
2
+…+y
n
2
一y
n—r+1
2
一…一y
n
2
.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/UuX4777K
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