2. 考研
  3. 设A是n阶实对称矩阵，B，C为n阶矩阵，满足条件 (A+2E)B=O，(A一3E)C=O， 且r(B)=r(0＜r＜n)，r(B)+r(C)=n．则二次型f(x1，x2，…，xn)=XTAX的规范形为___________．

设A是n阶实对称矩阵，B，C为n阶矩阵，满足条件 (A+2E)B=O，(A一3E)C=O， 且r(B)=r(0＜r＜n)，r(B)+r(C)=n．则二次型f(x1，x2，…，xn)=XTAX的规范形为___________．

admin2018-03-30  57
问题 设A是n阶实对称矩阵，B，C为n阶矩阵，满足条件
    (A+2E)B=O，(A一3E)C=O，
    且r(B)=r(0＜r＜n)，r(B)+r(C)=n．则二次型f(x1，x2，…，xn)=XTAX的规范形为___________．
选项
答案y12+y22+…+yn2一yn—r+12一…一yn2
解析 因(A+2E)B=O，r(B)=r，则B中列向量组的极大线性无关组向量个数为r，且该极大线性无关组是(A+2E)X=0的解，设为β1，β2，β3，也是A的对应于特征值λ=一2的线性无关的特征向量．
又(A一3E)C=O，因r(C)=n一r(B)=n一r，故C中列向量组的极大线性无关组向量个数为
n一r，且该极大线性无关组是(A一3E)X=0的解，也是A的对应于特征值λ=3的线性无关的特征向量，记为γ1，γ2，…，γn—r，故XTAX的正惯性指数为n一r，负惯性指数为r．
故知f(x1，x2，…，xn)=XTAX的规范形为
    y12+y22+…+yn2一yn—r+12一…一yn2．
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考研数学三

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