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已知曲线L:y=x2(x≥0),点O(0,0),点A(0,1),设P是L上的动点,S是直线OA与直线AP及曲线L所围成图形的面积.若P运动到点(3,4)时沿x轴正向的速度是4,求此时S关于时间t的变化率.
已知曲线L:y=x2(x≥0),点O(0,0),点A(0,1),设P是L上的动点,S是直线OA与直线AP及曲线L所围成图形的面积.若P运动到点(3,4)时沿x轴正向的速度是4,求此时S关于时间t的变化率.
admin
2022-09-22
24
问题
已知曲线L:y=
x
2
(x≥0),点O(0,0),点A(0,1),设P是L上的动点,S是直线OA与直线AP及曲线L所围成图形的面积.若P运动到点(3,4)时沿x轴正向的速度是4,求此时S关于时间t的变化率.
选项
答案
设点P的坐标为(x(t),[*]x
2
(t)),则所围图形的面积为 [*] 其中,前者为直线AP与直线x=x(t)及x轴、y轴所围梯形的面积,后者为曲线y=[*]x
2
与直线x=x(t)及x轴所围曲面图形的面积,S为两者之差. 则S关于时间t的变化率为S’(t)=[*]x
2
(t)x’(t). 又已知当x(t)=3时,x’(t)=4,代入上式,可得S’(t)|
x=3
=10.
解析
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