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  3. 设A为n阶矩阵，下列命题正确的是 ( )

设A为n阶矩阵，下列命题正确的是 ( )

admin2020-03-01  46
问题 设A为n阶矩阵，下列命题正确的是    (    )
选项 A、若α为AT的特征向量，那么α为A的特征向量
B、若α为A*的特征向量，那么α为A的特征向量
C、若α为A2的特征向量，那么α为A的特征向量
D、若α为2A的特征向量，那么α为A的特征向量
答案D
解析 (1)矩阵AT与A的特征值相同，但特征向量不一定相同，故(A)错误．
    (2)假设α为A的特征向量，λ为其特征值，当λ≠0时α也为A*的特征向量．这是由于 Aα=λαA*Aα=λA*αA*α=λ-1|A|α
    但反之，α为A*的特征向量，那么α不一定为A的特征向量．例如：当r(A)＜n一1时，A*=O，此时，任意n维非零列向量都是A*的特征向量，故A*的特征向量不一定是A的特征向量．可知(B)错误．
    (3)假设α为A的特征向量，λ为其特征值，则α为A2的特征向量．这是由于    A2α=A(Aα)=λAα=λ2α．
    但反之，若α为A2的特征向量，α不一定为A的特征向量．例如：假设Aβ1=β1，Aβ2=一β2，其中β1，β2≠0．此时有A2(β1+β2)=A2β1+A2β2=β1+β2，可知β1+β2为A2的特征向量．但β1，β2是矩阵A两个不同特征值的特征向量，它们的和β1+β2不是A的特征向量．故(C)错误．
    (4)若α为2A的特征向量，则存在实数λ使得2Aα=λα，此时有，因此α为A的特征向量．可知(D)是正确的．故选(D)．
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考研数学二

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