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设矩阵Am×n的秩为r(A)=m<n,Im为m阶单位矩阵,则下述结论中正确的是( )
设矩阵Am×n的秩为r(A)=m<n,Im为m阶单位矩阵,则下述结论中正确的是( )
admin
2016-05-31
36
问题
设矩阵A
m×n
的秩为r(A)=m<n,I
m
为m阶单位矩阵,则下述结论中正确的是( )
选项
A、A的任意m个列向量必线性无关.
B、A的任意一个m阶子式不等于零.
C、A通过初等行变换,必可以化为(I
m
:O)的形式.
D、非齐次线性方程组Ax=b一定有无穷多解.
答案
D
解析
选项A、B显然不正确,将其中的“任意”都改为“存在”,结论才正确.对于矩阵A,只通过初等行变换是不能保证将其化为等价标准型(I
m
:O)的,故C也不正确,故选D.
事实上,由于A有m行,且r(A)=m<n,因此r(A:b)≥r(A)=m.又
r(A:b)≤rain{m,n+1}=m,
故r(A:b)=r(A)=m<n,从而该非齐次线性方程组一定有无穷多解.所以选项D正确.
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考研数学三
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