设矩阵Am×n的秩为r(A)=m＜n，Im为m阶单位矩阵，则下述结论中正确的是( )

admin2016-05-31 27

问题设矩阵A_m×n的秩为r(A)=m＜n，I_m为m阶单位矩阵，则下述结论中正确的是( )

选项 A、A的任意m个列向量必线性无关．
B、A的任意一个m阶子式不等于零．
C、A通过初等行变换，必可以化为(I_m：O)的形式．
D、非齐次线性方程组Ax=b一定有无穷多解．

答案D

解析选项A、B显然不正确，将其中的“任意”都改为“存在”，结论才正确．对于矩阵A，只通过初等行变换是不能保证将其化为等价标准型(I_m：O)的，故C也不正确，故选D．
事实上，由于A有m行，且r(A)=m＜n，因此r(A：b)≥r(A)=m．又
r(A：b)≤rain{m，n+1}=m，
故r(A：b)=r(A)=m＜n，从而该非齐次线性方程组一定有无穷多解．所以选项D正确．

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考研数学三

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