设函数φ(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分的值恒为同一常数。 (Ⅰ)证明：对右半平面x＞0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有 (Ⅱ)求函数φ(y)的表达式。

admin2018-05-25 87

问题设函数φ(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分

的值恒为同一常数。
(Ⅰ)证明：对右半平面x＞0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有

(Ⅱ)求函数φ(y)的表达式。

选项

答案(Ⅰ)如图6—12所示，将C分解为：C=l₁+l₂，另作一条曲线l₃围绕原点且与C相接， [*] P，Q在单连通区域x＞0内，具有一阶连续偏导数，由(Ⅰ)知，曲线积分[*]在该区域内与路径无关，故当x＞0时，总有[*]。 [*] 比较(1)、(2)两式的右端，得 [*] 由(3)得φ(y)=一y²+C，将φ(y)代入(4)得2y⁵一4Cy³=2y⁵。所以C=0，从而φ(y)=一y²。

解析

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考研数学一

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设函数φ(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分的值恒为同一常数。 (Ⅰ)证明：对右半平面x＞0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有 (Ⅱ)求函数φ(y)的表达式。

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