设A,B,C,D是四个4阶矩阵,其中A,D为非零矩阵,B,C可逆,且满足ABCD=0,若r(A)+r(B)+r(C)+r(D)=r,则r的取值范围是( ).

admin2016-04-14  23

问题 设A,B,C,D是四个4阶矩阵,其中A,D为非零矩阵,B,C可逆,且满足ABCD=0,若r(A)+r(B)+r(C)+r(D)=r,则r的取值范围是(     ).

选项 A、r<10.
B、10≤r≤12.
C、12<r<16.
D、r≥16.

答案B

解析 因A≠0,D≠0,故r(A)≥1,r(D)≥1,r(A)+r(D)≥2,|B|≠0,|C|≠0,故r(B)=4,r(C)=4.
从而有r(A)+r(B)+r(C)+r(D)≥10.
又由ABCD=0,其中B,C可逆,得r(AB)+r(CD)=r(A)+r(D)≤4.
从而有r(A)+r(B)+r(C)+r(D)≤12.
故10≤r≤12.
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