求下列曲面的面积： (Ⅰ)半球面z=及旋转抛物面2az=x2+y2所围立体的表面S； (Ⅱ)锥面z=被柱面z2=2x所割下部分的曲面S．

admin2016-10-26 61

问题求下列曲面的面积：
(Ⅰ)半球面z=

及旋转抛物面2az=x²+y²所围立体的表面S；
(Ⅱ)锥面z=

被柱面z²=2x所割下部分的曲面S．

选项

答案(Ⅰ)两曲面的交线及在Oxy平面上的投影区域D．曲面S分成两块．对曲面S₁：z=[*]来说．[*]它的面积 [*] 对于曲面S₂：z=[*]它的面积 [*] 因此，整个曲面的面积A=A₁+A₂=[*]πa²． (Ⅱ)先解方程组[*]消去z得x²+y²=2x．这就是两曲面的交线在Oxy平面上的投影，也就是曲面S在Oxy平面上投影区域D的边界曲线，因而 D={(x，y)｜x²+y²≤2x}={(x，y)｜(x－1)²+y²≤1}．在锥面z=[*]，因此曲面S的面积 A=[*](D是半径为1的圆，面积为π)

解析在用公式

dxdy求曲面S：z=f(x，y)((x，y)∈D)的面积时，关键之一是确定S在Oxy平面的投影区域D．因为题目中往往不是直接给出这个投影区域．
若曲面是由垂直于Oxy平面的柱面所截，则它在Oxy平面上的投影区域就是柱面截下Oxy平面部分．若曲面是由两张相交曲面组成，则需求它们的交线才可求得投影区域如题(Ⅰ)．对于题(1I)，求投影区域的方法本质上与题(Ⅰ)相同．

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考研数学一

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