求下列曲面的面积: (Ⅰ)半球面z=及旋转抛物面2az=x2+y2所围立体的表面S; (Ⅱ)锥面z=被柱面z2=2x所割下部分的曲面S.

admin2016-10-26  48

问题 求下列曲面的面积:
(Ⅰ)半球面z=及旋转抛物面2az=x2+y2所围立体的表面S;
(Ⅱ)锥面z=被柱面z2=2x所割下部分的曲面S.

选项

答案(Ⅰ)两曲面的交线及在Oxy平面上的投影区域D.曲面S分成两块.对曲面S1:z=[*]来说.[*]它的面积 [*] 对于曲面S2:z=[*]它的面积 [*] 因此,整个曲面的面积A=A1+A2=[*]πa2. (Ⅱ)先解方程组[*]消去z得x2+y2=2x.这就是两曲面的交线在Oxy平面上的投影,也就是曲面S在Oxy平面上投影区域D的边界曲线,因而 D={(x,y)|x2+y2≤2x}={(x,y)|(x-1)2+y2≤1}. 在锥面z=[*],因此曲面S的面积 A=[*](D是半径为1的圆,面积为π)

解析  在用公式dxdy求曲面S:z=f(x,y)((x,y)∈D)的面积时,关键之一是确定S在Oxy平面的投影区域D.因为题目中往往不是直接给出这个投影区域.
若曲面是由垂直于Oxy平面的柱面所截,则它在Oxy平面上的投影区域就是柱面截下Oxy平面部分.若曲面是由两张相交曲面组成,则需求它们的交线才可求得投影区域如题(Ⅰ).对于题(1I),求投影区域的方法本质上与题(Ⅰ)相同.
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