假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g″(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,试证: 在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使。

admin2018-12-29  23

问题 假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g″(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,试证:
在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使

选项

答案构造函数F(x)=f(x)g′(x)—g(x)f′(x),由题设条件得函数F(x)在区间[a,b]上是连续的,在区间(a,b)上是可导的,且满足F(a)=F(b)=0。根据罗尔定理可知,存在点ξ∈(a,b),使得f′(ξ)=0。即f(ξ)g″(ξ)—f″(ξ)g(ξ)=0,因此可得 [*]

解析
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