假设函数f(x)和g(x)在[a，b]上存在二阶导数，并且g″(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，试证：在开区间(a，b)内至少存在一点ξ，使。

admin2018-12-29 69

问题假设函数f(x)和g(x)在[a，b]上存在二阶导数，并且g″(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，试证：
在开区间(a，b)内至少存在一点ξ，使

。

选项

答案构造函数F(x)=f(x)g′(x)—g(x)f′(x)，由题设条件得函数F(x)在区间[a，b]上是连续的，在区间(a，b)上是可导的，且满足F(a)=F(b)=0。根据罗尔定理可知，存在点ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)=0。即f(ξ)g″(ξ)—f″(ξ)g(ξ)=0，因此可得 [*]

解析

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考研数学一

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