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若二阶常系数线性齐次微分方程y"+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex,则非齐次方程y"+ay’+by=x满足条件y(0)=2,y’(0)=0的解为y=___________.
若二阶常系数线性齐次微分方程y"+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex,则非齐次方程y"+ay’+by=x满足条件y(0)=2,y’(0)=0的解为y=___________.
admin
2013-03-19
39
问题
若二阶常系数线性齐次微分方程y"+ay’+by=0的通解为y=(C
1
+C
2
x)e
x
,则非齐次方程y"+ay’+by=x满足条件y(0)=2,y’(0)=0的解为y=___________.
选项
答案
y=-xe
x
+x+2.
解析
由通解表达式 该二阶线性常系数齐次方程的特征根为λ
1
=λ
2
=1,于是特征方程为
(λ-1)
2
=λ
2
-2λ+1=0
该齐次方程为y"-2y’+y=0 (即a=-2,b=1).
又非齐次方程y"-2y’+y=x (*)
有特解y
*
=ax+β,代人(*)式得
-2a+ax+β=x a=1,β=2.
因此(*)有通解y=(C
1
+C
2
x)e
x
+x+2.
再由初条件y(0)=C
1
+2=2,y’(0)=C
1
+C
2
+1=0,
C
1
=0,C
2
=-1.因此所求的解为y=-xe
x
+x+2.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/GH54777K
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考研数学一
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