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已知方程组有无穷多解,且系数矩阵A的特征值是1,﹣1,0,对应的特征向量依次是p1=(1,2a,﹣1)T,p2=(a-2,﹣1,a+1)T,p3=(a,a+3,a+2)T,求矩阵A及A100.
已知方程组有无穷多解,且系数矩阵A的特征值是1,﹣1,0,对应的特征向量依次是p1=(1,2a,﹣1)T,p2=(a-2,﹣1,a+1)T,p3=(a,a+3,a+2)T,求矩阵A及A100.
admin
2020-06-05
65
问题
已知方程组
有无穷多解,且系数矩阵A的特征值是1,﹣1,0,对应的特征向量依次是p
1
=(1,2a,﹣1)
T
,p
2
=(a-2,﹣1,a+1)
T
,p
3
=(a,a+3,a+2)
T
,求矩阵A及A
100
.
选项
答案
对方程组增广矩阵作初等行变换: [*] 当a=﹣1或a=0时,[*]=R(A)=2﹤3,即方程组均有无穷多解. 若a=﹣1,则p
1
=(1,﹣2,﹣1)
T
与p
3
=(﹣1,2,1)
T
对应分量成比例,即p
1
,p
2
,p
3
线性相关,不合题意. 若a=0时,则p
1
=(1,0,﹣1)
T
,p
2
=(﹣2,﹣1,1)
T
,p
3
=(0,3,2)
T
线性无关.根据特征值与特征向量的定义,有A(p
1
,p
2
,p
3
)=(p
1
,﹣p
2
,0).于是 A=(p
1
,﹣p
2
,0)(p
1
,p
2
,p
3
)
﹣1
[*] 因为A有3个不同的特征值,所以它与对角矩阵相似,即P
﹣1
AP=[*]=diag(1,﹣1,0),其中P=(p
1
,p
2
,p
3
),于是 A
100
[*]
解析
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考研数学一
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