已知方程组有无穷多解，且系数矩阵A的特征值是1，﹣1，0，对应的特征向量依次是p1＝(1，2a，﹣1)T，p2＝(a－2，﹣1，a＋1)T，p3＝(a，a＋3，a＋2)T，求矩阵A及A100．

admin2020-06-05 53

问题已知方程组

有无穷多解，且系数矩阵A的特征值是1，﹣1，0，对应的特征向量依次是p₁＝(1，2a，﹣1)^T，p₂＝(a－2，﹣1，a＋1)^T，p₃＝(a，a＋3，a＋2)^T，求矩阵A及A¹⁰⁰．

选项

答案对方程组增广矩阵作初等行变换： [*] 当a＝﹣1或a＝0时，[*]＝R(A)＝2﹤3，即方程组均有无穷多解．若a＝﹣1，则p₁＝(1，﹣2，﹣1)^T与p₃＝(﹣1，2，1)^T对应分量成比例，即p₁，p₂，p₃线性相关，不合题意．若a＝0时，则p₁＝(1，0，﹣1)^T，p₂＝(﹣2，﹣1，1)^T，p₃＝(0，3，2)^T线性无关．根据特征值与特征向量的定义，有A(p₁，p₂，p₃)＝(p₁，﹣p₂，0)．于是 A＝(p₁，﹣p₂，0)(p₁，p₂，p₃)^﹣1 [*] 因为A有3个不同的特征值，所以它与对角矩阵相似，即P^﹣1AP＝[*]＝diag(1，﹣1，0)，其中P＝(p₁，p₂，p₃)，于是 A¹⁰⁰ [*]

解析

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考研数学一

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已知方程组有无穷多解，且系数矩阵A的特征值是1，﹣1，0，对应的特征向量依次是p1＝(1，2a，﹣1)T，p2＝(a－2，﹣1，a＋1)T，p3＝(a，a＋3，a＋2)T，求矩阵A及A100．

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