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An×n(α1,α2,…,αn),Bn×n=(α1+α2,α2+α3,…,αn+α1),当r(A)=n时,方程组BX=0是否有非零解?
An×n(α1,α2,…,αn),Bn×n=(α1+α2,α2+α3,…,αn+α1),当r(A)=n时,方程组BX=0是否有非零解?
admin
2018-08-12
42
问题
A
n×n
(α
1
,α
2
,…,α
n
),B
n×n
=(α
1
+α
2
,α
2
+α
3
,…,α
n
+α
1
),当r(A)=n时,方程组BX=0是否有非零解?
选项
答案
方法一 B=(α
1
+α
2
,α
2
+α
3
,…,α
n
+α
1
)=(α
1
,α
2
,…,α
n
)[*] 由r(A)=n可知|A|≠0,而|B|=|A|[*] =|A|[1+(-1)
n+1
], 当n为奇数时,|B|≠0,方程组BX=0只有零解; 当n为偶数时,|B|=0,方程组BX=0有非零解. 方法二 BX=0[*]x
1
(α
1
+α
2
)+x
2
(α
2
+α
3
)+…+x
n
(α
n
+α
1
)=0 [*](x
1
+x
n
)α
1
+(x
1
+x
2
)α
2
+…+(x
n-1
+x
n
)α
n
=0, 因为α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关, 所以[*]=1+(-1)
n+1
, 当n为奇数时,|B|≠0,方程组BX=0只有零解; 当n为偶数时,|B|=0,方程组BX=0有非零解.
解析
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考研数学二
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