利用变换y=f(ex)求微分方程yˊˊ－(2ex+1)yˊ+e2xy=e3x的通解．

admin2019-01-05 6

问题利用变换y=f(e^x)求微分方程yˊˊ－(2e^x+1)yˊ+e^2xy=e^3x的通解．

选项

答案令t=e^x，y=f(t) =>yˊ=fˊ(t).e^x=tfˊ(t)， yˊˊ=[tfˊ(t)]ˊ_x=e^xfˊ(t)+tfˊˊ(t).e^x=tfˊ(t)+t²fˊˊ(t)，代入方程得t²fˊˊ(t)+tfˊ(t)－(2t+1)tfˊ(t)+t²f(t)=t³，即 fˊˊ(t)－2fˊ(t)+f(t)=t．解得f(t)=(C₁+C₂t)e^t+t+2，所以yˊˊ－(2e^x+1)yˊ+e^2xy=e^3x的通解为 y=(C₁+C₂e^x)[*]+e^x+2，其中C₁，C₂为任意常数．

解析

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