利用变换x=-㏑t 将微分方程d2y／dx2＋dy／dx＋e-2xy-e-3x化简为y关于t的微分方程，并求原微分方程的通解y(x)；

admin2022-05-20 56

问题利用变换x=-㏑t
将微分方程d²y／dx²＋dy／dx＋e^-2xy-e^-3x化简为y关于t的微分方程，并求原微分方程的通解y(x)；

选项

答案由x=-㏑t，知t=e^-x，故 dy/dx=-e^-x·dy/dt=-t·dy/dt， d²y/dx²=-d/dt(t·dy/dt)·(-e^-x)=t·dy/dt+t²·d²y/dt²．代入原微分方程，化简，得 d²y/dt²+y=t．① 特征方程为r²+1=0，得r₁=i，r₂=-i，令特解为y^*=at+b，代入方程①，得 a=1，b=0，故方程①的通解为 y=C₁cos t+C₂sin t+t，原微分方程的通解为 y=C₁cos e^-x+C₂sin e^-x+e^-x(C₁，C₂为任意常数)．

解析

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