2. 考研
  3. (1)设x＞0，y＞0，z＞0，求函数f(x，y，z)=xyz3在约束条件x2+y2+z2=5R2(R＞0为常数)下的最大值； (2)由(1)的结论证明：当a＞0，b＞0，c＞0时，

(1)设x＞0，y＞0，z＞0，求函数f(x，y，z)=xyz3在约束条件x2+y2+z2=5R2(R＞0为常数)下的最大值； (2)由(1)的结论证明：当a＞0，b＞0，c＞0时，

admin2021-08-02  77
问题 (1)设x＞0，y＞0，z＞0，求函数f(x，y，z)=xyz3在约束条件x2+y2+z2=5R2(R＞0为常数)下的最大值；
(2)由(1)的结论证明：当a＞0，b＞0，c＞0时，
选项
答案(1)由拉格朗日乘数法，设 F(x，y，z，λ)=xyz3+λ(x2+y2+z2一5R2)， 令 [*] 由①，②得λ(x—y)(x+y)=0．若λ=0，则有xyz=0，与题设条件x＞0，y＞0，z＞0不符， 同理知x+y≠0，故得x=y，因此得 z3+2λ=0，3x2+2λ=0，2x2+z2=5R2． 于是得 3x2z2=0及2x2+z2=5R2， 从而得唯一的一组解： x=R，y=R，z=[*]． 此时对应的f(x，y，z)=xyz3在约束条件x2+y2+z2=5R2下达到最大： [*] (2)由(1)知，当x2+y2+z2=5R2且x＞0，y＞0，z＞时， [*] 即 [*] 令a=x2，b=y2，c=z2，有 [*] 证毕．
解析
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考研数学二

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