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(1)设x>0,y>0,z>0,求函数f(x,y,z)=xyz3在约束条件x2+y2+z2=5R2(R>0为常数)下的最大值; (2)由(1)的结论证明:当a>0,b>0,c>0时,
(1)设x>0,y>0,z>0,求函数f(x,y,z)=xyz3在约束条件x2+y2+z2=5R2(R>0为常数)下的最大值; (2)由(1)的结论证明:当a>0,b>0,c>0时,
admin
2021-08-02
86
问题
(1)设x>0,y>0,z>0,求函数f(x,y,z)=xyz
3
在约束条件x
2
+y
2
+z
2
=5R
2
(R>0为常数)下的最大值;
(2)由(1)的结论证明:当a>0,b>0,c>0时,
选项
答案
(1)由拉格朗日乘数法,设 F(x,y,z,λ)=xyz
3
+λ(x
2
+y
2
+z
2
一5R
2
), 令 [*] 由①,②得λ(x—y)(x+y)=0.若λ=0,则有xyz=0,与题设条件x>0,y>0,z>0不符, 同理知x+y≠0,故得x=y,因此得 z
3
+2λ=0,3x
2
+2λ=0,2x
2
+z
2
=5R
2
. 于是得 3x
2
z
2
=0及2x
2
+z
2
=5R
2
, 从而得唯一的一组解: x=R,y=R,z=[*]. 此时对应的f(x,y,z)=xyz
3
在约束条件x
2
+y
2
+z
2
=5R
2
下达到最大: [*] (2)由(1)知,当x
2
+y
2
+z
2
=5R
2
且x>0,y>0,z>时, [*] 即 [*] 令a=x
2
,b=y
2
,c=z
2
,有 [*] 证毕.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/QPy4777K
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考研数学二
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