设n(n≥3)阶矩阵A=,若矩阵A的秩为n-1,则a必为( ).

admin2020-06-05  29

问题 设n(n≥3)阶矩阵A=,若矩阵A的秩为n-1,则a必为(    ).

选项 A、1
B、
C、﹣1
D、

答案B

解析 方法一  赋值法.
取n=3,此时    A=,且R(A)=n-1=2
四个备选项为(A)1,(B)﹣1/2,(C)﹣1,(D)1/2.再用逆推法,考查哪个选项的a的值满足R(A)=2,显然(A)不正确(因a=1时,R(A)=1).对于选项(B),此时
A=
显然|A|=0(将|A|的第2,3行(列)加至第1行(列)即可看出),而其中的一个2阶子式≠0,故R(A)=2,因而(B)入选.
或者,还可直接计算|A|,利用R(A)=2进行推演排除.
|A|=
=(2a+1)(1-a)2
由|A|=0,得a=﹣1/2或a=1,R(A)=1,故a=﹣1/2,即(B)正确.
方法二  推演法.
把行列式|A|的第2,3,…,n列加到第1列上,提取公因式[(n-1)a+1],而后第1列乘以-1依次加到第2,3,…,n列上,即可得
|A|==(1-a)n﹣1[(n-1)a+1]
令|A|=0,得a=1,a=,因当a=1时,与R(A)=n-1≥2矛盾,故(B)正确.
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