2. 考研
  3. 设n(n≥3)阶矩阵A＝，若矩阵A的秩为n－1，则a必为( )．

设n(n≥3)阶矩阵A＝，若矩阵A的秩为n－1，则a必为( )．

admin2020-06-05  25
问题 设n(n≥3)阶矩阵A＝，若矩阵A的秩为n－1，则a必为(    )．
选项 A、1
B、
C、﹣1
D、
答案B
解析 方法一  赋值法．
取n＝3，此时    A＝，且R(A)＝n－1＝2
四个备选项为(A)1，(B)﹣1/2，(C)﹣1，(D)1/2．再用逆推法，考查哪个选项的a的值满足R(A)＝2，显然(A)不正确(因a＝1时，R(A)＝1)．对于选项(B)，此时
A＝
显然｜A｜＝0(将｜A｜的第2，3行(列)加至第1行(列)即可看出)，而其中的一个2阶子式≠0，故R(A)＝2，因而(B)入选．
或者，还可直接计算｜A｜，利用R(A)＝2进行推演排除．
｜A｜＝
＝(2a＋1)(1－a)2
由｜A｜＝0，得a＝﹣1/2或a＝1，R(A)＝1，故a＝﹣1/2，即(B)正确．
方法二  推演法．
把行列式｜A｜的第2，3，…，n列加到第1列上，提取公因式[(n－1)a＋1]，而后第1列乘以－1依次加到第2，3，…，n列上，即可得
｜A｜＝＝(1－a)n﹣1[(n－1)a＋1]
令｜A｜＝0，得a＝1，a＝，因当a＝1时，与R(A)＝n－1≥2矛盾，故(B)正确．
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考研数学一

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