[2002年] 求微分方程xdy+(x一2y)dx=0的一个解y=y(x)使得由曲线y=y(x)与直线x=1，x=2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小．

admin2019-04-05 90

问题 [2002年] 求微分方程xdy+(x一2y)dx=0的一个解y=y(x)使得由曲线y=y(x)与直线x=1，x=2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小．

选项

答案先求出所给微分方程的通解，求出曲线的表示式，再由旋转体体积最小，求出方程的特解，确定曲线．原方程可化为[*]=一1，则 y=[*]=x²+Cx²．由曲线y=x+Cx²与直线x=1，x=2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积为 V(C)=∫₁²π(x+Cx²)²dx=π(31C²／5+15C／2+7／3)．令V′(C)=π(62C／5+15／2)=0，得C=一75／124．又V″(C)=62π／5＞0，故C=一75／124为唯一极小值点，也是最小值点，于是得 y=y(x)=x=75x²／124．

解析

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考研数学二

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[2002年] 求微分方程xdy+(x一2y)dx=0的一个解y=y(x)使得由曲线y=y(x)与直线x=1，x=2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小．

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