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  3. 证明：对称阵A为正定的充要条件是存在可逆阵U，使A＝UTU，即A与单位阵E合同．

证明：对称阵A为正定的充要条件是存在可逆阵U，使A＝UTU，即A与单位阵E合同．

admin2020-06-05  33
问题 证明：对称阵A为正定的充要条件是存在可逆阵U，使A＝UTU，即A与单位阵E合同．
选项
答案充分性因为存在可逆矩阵U，使A＝UTU，故任取x∈Rn，且x≠0，就有Ux≠0(否则，由u为可逆矩阵可得x＝0)，并且，A的二次型在该处的值 f(x)＝xTAx＝xTUTUx＝[Ux，Ux]＝｜｜Ux｜｜2﹥0即矩阵A的二次型是正定的，从而A是正定矩阵． 必要性因A是对称阵，故必存在正交阵P，使得PTAP＝[*]＝diag(λ1，λ2，…，λn)，其中，λ1，λ2，…，λn是A的n个特征值，由于A为正定矩阵，故A的所有特征值均大于0，即λi﹥0(i＝1，2，…，n)．记对角阵[*]，则有 [*] 从而[*]，记U＝(P[*])T，显然U为可逆矩阵，并且由上式知A＝UTU．
解析
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考研数学一

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