)设二次型f(x1，x2，x3)=2x12—x22+ax32+2x1x2—8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22，求以的值及一个正交矩阵Q．

admin2019-05-16 68

问题 )设二次型f(x₁，x₂，x₃)=2x₁²—x₂²+ax₃²+2x₁x₂—8x₁x₃+2x₂x₃在正交变换x=Qy下的标准形为λ₁y₁²+λ₂y₂²，求以的值及一个正交矩阵Q．

选项

答案二次型f(x₁，x₂，x₃)的矩阵为A=[*]．由题设知Q^—1AQ=Q^TAQ=[*]，A的一个特征值为零，所以有 [*] 故得a=2．由A的特征方程 [*] =(λ—6)(λ+3)λ=0 得A的全部特征值，不妨设λ₁=6，λ₂=一3，λ₃=0，对于λ₁=6，解方程组(6I—A)x=0，对应的单位特征向量可取为ξ₁=[*](1，0，一1)^T；对于λ₂=一3，解方程组(一3I一A)x=0，对应的单位特征向量可取为ξ₂=[*](1，一1，1)^T；对于λ₃=0，解方程组Ax=0，对应的单位特征向量可取为ξ₃=[*](1，2．1)^T． Q=(ξ₁，ξ₂，ξ₃)=[*]。

解析

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考研数学一

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)设二次型f(x1，x2，x3)=2x12—x22+ax32+2x1x2—8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22，求以的值及一个正交矩阵Q．

考研数学一

对数螺线ρ=eθ在点(ρ，θ)=处切线22.的直角坐标方程为_________。

设随机变量X与Y相互独立，且X～B(5，0．8)，Y～N(1，1)，则根据切比雪夫不等式有P{0＜X+Y＜10}≥_______。

设P(A)=P(B)=P(C)=，P(AB)=0，P(AC)=P(BC)=，则A，B，C都不发生的概率为________．

设A为n阶矩阵，A的各行元素之和为0且r(A)=n－1，则方程组AX=0的通解为_________．

设f(x)具有一阶连续导数，f(0)＝0，且表达式[xy(1＋y)一f(x)y]dx＋[f(x)＋x2y]dy为某可微函数u(x，y)的全微分．求f(x)及u(x，y)．

设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记　　若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

已知线段AB＝4，CD＝1，现分别独立地在AB上任取点A1，住CD上任取点C1．作一个以AA1为底、CC1为高的三角形，设此三角形的而积为S，求P(S＜1)和D(S)．

在长为a的线段AB上独立、随机地取两点C，D，试求CD的平均长度．

已知α1=[1，－1，1]T，α2=[1，t，－1]T，α3=[t，1，2]T，β=[4，￡。，一4]T，若β可由α1，α2，α3线性表示，且表示法不唯一，求t及β的表达式．

微分方程(1－x2)y－xy’=0满足初值条件y(1)=1的特解是______．

只要挺得过那风沙，人们总会脱去厚厚的外装，活动一下的躯体，沉睡在灵魂里的种种追求。春天人类以希望。填入画横线部分最恰当的一项是()。

明代“后七子”之一谢榛的作品集是()

下列乳腺癌的描述中，不正确的是

慢性唇炎发病的重要原因是

生地黄的主治病证不包括

按照皮亚杰的观点，儿童思维出现可逆性是在()

“芳林新叶催陈叶，流水前波让后波”这句诗蕴含的哲理是()。

畏惧盗寇的商贾们抛离了驼队踩出的丝绸古道，面对异族的武夫们丢弃了千里烽燧和兵刃甲胄。一路，簇拥着玉辇华盖，偏安向丰盈又富庶的南方。那叫人的杏花春雨啊，竞把炎黄子民们孔武剽悍的魂魄和膂力一并__!而历史

Bycuttingdowntreeswe_____thenaturalhomeofbirdsandanimals.

)设二次型f(x1，x2，x3)=2x12—x22+ax32+2x1x2—8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22，求以的值及一个正交矩阵Q．

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对数螺线ρ=eθ在点(ρ，θ)=处切线22.的直角坐标方程为_________。

设随机变量X与Y相互独立，且X～B(5，0．8)，Y～N(1，1)，则根据切比雪夫不等式有P{0＜X+Y＜10}≥_______。

设P(A)=P(B)=P(C)=，P(AB)=0，P(AC)=P(BC)=，则A，B，C都不发生的概率为________．

设A为n阶矩阵，A的各行元素之和为0且r(A)=n－1，则方程组AX=0的通解为_________．

设f(x)具有一阶连续导数，f(0)＝0，且表达式[xy(1＋y)一f(x)y]dx＋[f(x)＋x2y]dy为某可微函数u(x，y)的全微分．求f(x)及u(x，y)．

设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

已知线段AB＝4，CD＝1，现分别独立地在AB上任取点A1，住CD上任取点C1．作一个以AA1为底、CC1为高的三角形，设此三角形的而积为S，求P(S＜1)和D(S)．

在长为a的线段AB上独立、随机地取两点C，D，试求CD的平均长度．

已知α1=[1，－1，1]T，α2=[1，t，－1]T，α3=[t，1，2]T，β=[4，￡。，一4]T，若β可由α1，α2，α3线性表示，且表示法不唯一，求t及β的表达式．

微分方程(1－x2)y－xy’=0满足初值条件y(1)=1的特解是______．

只要挺得过那风沙，人们总会脱去厚厚的外装，活动一下________的躯体，________沉睡在灵魂里的种种追求。春天________人类以希望。填入画横线部分最恰当的一项是()。

明代“后七子”之一谢榛的作品集是()

下列乳腺癌的描述中，不正确的是

慢性唇炎发病的重要原因是

生地黄的主治病证不包括

按照皮亚杰的观点，儿童思维出现可逆性是在()

“芳林新叶催陈叶，流水前波让后波”这句诗蕴含的哲理是()。

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设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记　　若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

只要挺得过那风沙，人们总会脱去厚厚的外装，活动一下的躯体，沉睡在灵魂里的种种追求。春天人类以希望。填入画横线部分最恰当的一项是()。