2. 考研
  3. )设二次型f(x1，x2，x3)=2x12—x22+ax32+2x1x2—8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22，求以的值及一个正交矩阵Q．

)设二次型f(x1，x2，x3)=2x12—x22+ax32+2x1x2—8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22，求以的值及一个正交矩阵Q．

admin2019-05-16  104
问题 )设二次型f(x1，x2，x3)=2x12—x22+ax32+2x1x2—8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22，求以的值及一个正交矩阵Q．
选项
答案二次型f(x1，x2，x3)的矩阵为A=[*]． 由题设知Q—1AQ=QTAQ=[*]，A的一个特征值为零，所以有 [*] 故得a=2．由A的特征方程 [*] =(λ—6)(λ+3)λ=0 得A的全部特征值，不妨设λ1=6，λ2=一3，λ3=0， 对于λ1=6，解方程组(6I—A)x=0，对应的单位特征向量可取为ξ1=[*](1，0，一1)T； 对于λ2=一3，解方程组(一3I一A)x=0，对应的单位特征向量可取为ξ2=[*](1，一1，1)T； 对于λ3=0，解方程组Ax=0，对应的单位特征向量可取为ξ3=[*](1，2．1)T． Q=(ξ1，ξ2，ξ3)=[*]。
解析
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考研数学一

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