2. 考研
  3. (1)证明方程xn＋xn－1＋…＋x＝1(n为大于1的整数)在区间内有且仅有一个实根； (2)记(1)中的实根为xn，证明存在，并求此极限．

(1)证明方程xn＋xn－1＋…＋x＝1(n为大于1的整数)在区间内有且仅有一个实根； (2)记(1)中的实根为xn，证明存在，并求此极限．

admin2014-01-26  69
问题 (1)证明方程xn＋xn－1＋…＋x＝1(n为大于1的整数)在区间内有且仅有一个实根；
    (2)记(1)中的实根为xn，证明存在，并求此极限．
选项
答案(1)令 fn(x)＝xn＋xn－1＋…＋x－1．因为fn(x)在[*]上连续，又[*]，fn(1)＝n－1＞0， 由介值定理，存在xn∈[*]，使fn(xn)＝0(n＝2，3，…)，即原方程在区间[*]内至少有一个实根．又当x∈[*]时，f’(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1＞0，即fn(x)在[*]内单调增加，故原方程在区间[*]内有且仅有一个实根． (2)由(1)知数列{xn}有界，下面证明单调性． 因为 fn(xn)＝0＝fn＋1(xn＋1)，n＝2，3，…． 故 xnn＋xnn－1＋…＋xn－1＝(xn＋1n－1＋…＋xn＋1nn＋1n＋1＞0， 即fn(xn)＞fn2(xn＋1)，而fn(x)在[*]内单调增加，从而有xn＞xn＋1，即数列{xn2}单调减少(n＝2，3，…)，所以[*]存在，设为l．由于0＜xn＜x2＜1，故0＜nn＜x2n．根据夹逼定理有[*]． 由fn(xn)＝0(n＝2，3，…)，即xnn＋xnn－1＋…＋xn＝1，得[*]， 令n→∞，取极限得[*]，解得[*]．故[*]．
解析 [分析]根的存在性用介值定理，而唯一性利用单调性；对于(2)，应先证明极限存在，在已知关系式两边取极限即可．
[评注]注意解答过程中的步骤0＜xn＜x2＜1不是多余的，因为仅由0＜xn＜1是推不出的．
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考研数学二

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