首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
(1)证明方程xn+xn-1+…+x=1(n为大于1的整数)在区间内有且仅有一个实根; (2)记(1)中的实根为xn,证明存在,并求此极限.
(1)证明方程xn+xn-1+…+x=1(n为大于1的整数)在区间内有且仅有一个实根; (2)记(1)中的实根为xn,证明存在,并求此极限.
admin
2014-01-26
106
问题
(1)证明方程x
n
+x
n-1
+…+x=1(n为大于1的整数)在区间
内有且仅有一个实根;
(2)记(1)中的实根为x
n
,证明
存在,并求此极限.
选项
答案
(1)令 f
n
(x)=x
n
+x
n-1
+…+x-1.因为f
n
(x)在[*]上连续,又[*],f
n
(1)=n-1>0, 由介值定理,存在x
n
∈[*],使f
n
(x
n
)=0(n=2,3,…),即原方程在区间[*]内至少有一个实根.又当x∈[*]时,f’(x)=1+2x+…+nx
n-1
>0,即f
n
(x)在[*]内单调增加,故原方程在区间[*]内有且仅有一个实根. (2)由(1)知数列{x
n
}有界,下面证明单调性. 因为 f
n
(x
n
)=0=f
n+1
(x
n+1
),n=2,3,…. 故 x
n
n
+x
n
n-1
+…+x
n
-1=(x
n+1
n-1
+…+x
n+1
n
n+1
n+1
>0, 即f
n
(x
n
)>f
n2
(x
n+1
),而f
n
(x)在[*]内单调增加,从而有x
n
>x
n+1
,即数列{x
n2
}单调减少(n=2,3,…),所以[*]存在,设为l.由于0<x
n
<x
2
<1,故0<
n
n
<x
2
n
.根据夹逼定理有[*]. 由f
n
(x
n
)=0(n=2,3,…),即x
n
n
+x
n
n-1
+…+x
n
=1,得[*], 令n→∞,取极限得[*],解得[*].故[*].
解析
[分析]根的存在性用介值定理,而唯一性利用单调性;对于(2),应先证明极限存在,在已知关系式两边取极限即可.
[评注]注意解答过程中的步骤0<x
n
<x
2
<1不是多余的,因为仅由0<x
n
<1是推不出
的.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Vm34777K
0
考研数学二
相关试题推荐
(04年)设有向量α1=(1,2,0)T,α2=(1,a+2,-3a)T,α3=(-1,-b-2,a+2b)T,β=(1,3,-3)T.试讨论当a、b为何值时,(1)β不能由α1,α2,α3线性表示;(2)β可由α1,α2,α3惟一地线
设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作.一周五个工作日,若无故障,可获利润10万元;发生一次故障仍可获利润5万元;若发生两次故障,获利润0元;若发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内的利润期望.
(2003年)设n=1,2,…,则下列命题正确的是()
已知向量组(Ⅰ):α1,α2,α3;(Ⅱ)α1,α2,α3,α4;(Ⅲ):α1,α2,α3,α5.如果各向量组的秩分别为R(Ⅰ)=R(Ⅱ)=3,R(Ⅲ)=4.证明:向量组(Ⅳ):α1,α2,α3,α5-α4的秩为4.
(2003年)设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1.试证必存在ξ∈(0,3)使f’(ξ)=0.
(97年)设3阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3;矩阵A的属于特征值1,2的特征向量分别是α1=(一1,-1,1)T,α2=1,-2,-1)T.(1)求A的属于特征值3的特征向量;(2)求矩阵A.
当x→0时,1-cosx.cos2x.cos3x与axn为等价无穷小,求n与a的值.
[2015年]设矩阵相似于矩阵求可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵.
[2008年]设n元线性方程组AX=b,其中当a为何值时,该方程组有唯一解,并求x1;
随机试题
finiteclause
运输货物的吨公里数或吨海里数称为()
硬膜外阻滞麻醉不适宜
奶牛发生慢性结核病,形成的肉芽肿属于()
在均质各向同性的岩体内开挖地下洞室,当洞室的高宽比在1.5—2时,从围岩应力有利的角度,应该选择何种形状的洞室()。[2017年真题]
特定减免税通关制度的海关管理特征,主要体现在以下哪几个方面:
依法执教就是教师要依据法律法规履行教书育人的职责。下列选项中,体现教师进行依法执教的是()
We’vejustinstalledtwoair-conditionersinourapartment,_______shouldmakegreatdifferencesinourlifenextsummer.
U.S.PopulationPresentSituationsofU.S.PopulationTheU.S.—themostpopulousoftoday’sdevelopedcountries—basoneoft
Growingolderisinevitable.However,asyougetold,careinoldagebecomesmoreimportant.Manypeoplewronglybelievethatw
最新回复
(
0
)