(88年)已知向量组α1,α2,…,αs(s≥2)线性无关.设β1=α1+α2,β2=α2+α3,…,βs-1=αs-1+αs,βs=αs+α1.试讨论向量组β1,β2,…,βs的线性相关性.

admin2021-01-25  35

问题 (88年)已知向量组α1,α2,…,αs(s≥2)线性无关.设β1=α1+α2,β2=α2+α3,…,βs-1=αs-1+αs,βs=αs+α1.试讨论向量组β1,β2,…,βs的线性相关性.

选项

答案假设有一组数χ1,χ2,…,χs,使得 χ1β1+χ2β2+…+χsβs=0 将题设的线性表示式代入上式并整理,得 (χs+χ11+(χ1+χ22+…+(χs-1+χss=0 由于α1,α2,…,αs线性无关,故有 [*] 此方程组的系数行列式为s阶行列式: [*] 因此有 (1)若s为奇数,则D=2≠0,故方程组(*)只有零解,即χ1,χ2,…,χs必全为0.这时,β1,β2,…,βs线性无关; (2)若s为偶数,则D=0,故方程组(*)有非零解,即存在不全为0的一组数χ1,χ2,…,χs,使χ1β1+χ2β2+…+χsβs=0.这时,向量组β1,β2…,βs线性相关.

解析
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