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(88年)已知向量组α1,α2,…,αs(s≥2)线性无关.设β1=α1+α2,β2=α2+α3,…,βs-1=αs-1+αs,βs=αs+α1.试讨论向量组β1,β2,…,βs的线性相关性.
(88年)已知向量组α1,α2,…,αs(s≥2)线性无关.设β1=α1+α2,β2=α2+α3,…,βs-1=αs-1+αs,βs=αs+α1.试讨论向量组β1,β2,…,βs的线性相关性.
admin
2021-01-25
33
问题
(88年)已知向量组α
1
,α
2
,…,α
s
(s≥2)线性无关.设β
1
=α
1
+α
2
,β
2
=α
2
+α
3
,…,β
s-1
=α
s-1
+α
s
,β
s
=α
s
+α
1
.试讨论向量组β
1
,β
2
,…,β
s
的线性相关性.
选项
答案
假设有一组数χ
1
,χ
2
,…,χ
s
,使得 χ
1
β
1
+χ
2
β
2
+…+χ
s
β
s
=0 将题设的线性表示式代入上式并整理,得 (χ
s
+χ
1
)α
1
+(χ
1
+χ
2
)α
2
+…+(χ
s-1
+χ
s
)α
s
=0 由于α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关,故有 [*] 此方程组的系数行列式为s阶行列式: [*] 因此有 (1)若s为奇数,则D=2≠0,故方程组(*)只有零解,即χ
1
,χ
2
,…,χ
s
必全为0.这时,β
1
,β
2
,…,β
s
线性无关; (2)若s为偶数,则D=0,故方程组(*)有非零解,即存在不全为0的一组数χ
1
,χ
2
,…,χ
s
,使χ
1
β
1
+χ
2
β
2
+…+χ
s
β
s
=0.这时,向量组β
1
,β
2
…,β
s
线性相关.
解析
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考研数学三
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