2. 考研
  3. (88年)已知向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关．设β1＝α1＋α2，β2＝α2＋α3，…，βs-1＝αs-1＋αs，βs＝αs＋α1．试讨论向量组β1，β2，…，βs的线性相关性．

(88年)已知向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关．设β1＝α1＋α2，β2＝α2＋α3，…，βs-1＝αs-1＋αs，βs＝αs＋α1．试讨论向量组β1，β2，…，βs的线性相关性．

admin2021-01-25  101
问题 (88年)已知向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关．设β1＝α1＋α2，β2＝α2＋α3，…，βs-1＝αs-1＋αs，βs＝αs＋α1．试讨论向量组β1，β2，…，βs的线性相关性．
选项
答案假设有一组数χ1，χ2，…，χs，使得 χ1β1＋χ2β2＋…＋χsβs＝0 将题设的线性表示式代入上式并整理，得 (χs＋χ1)α1＋(χ1＋χ2)α2＋…＋(χs-1＋χs)αs＝0 由于α1，α2，…，αs线性无关，故有 [*] 此方程组的系数行列式为s阶行列式： [*] 因此有 (1)若s为奇数，则D＝2≠0，故方程组(*)只有零解，即χ1，χ2，…，χs必全为0．这时，β1，β2，…，βs线性无关； (2)若s为偶数，则D＝0，故方程组(*)有非零解，即存在不全为0的一组数χ1，χ2，…，χs，使χ1β1＋χ2β2＋…＋χsβs＝0．这时，向量组β1，β2…，βs线性相关．
解析
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考研数学三

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