设A为n阶矩阵，A11≠0．证明：非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解的充分必要条件是A*b=0．

admin2016-10-24 55

问题设A为n阶矩阵，A₁₁≠0．证明：非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解的充分必要条件是A^*b=0．

选项

答案设非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解，则r(A)＜n，从而|A|=0，于是A^*b=A^*AX=|A|X=0．反之，设A^*b=0，因为b≠0，所以方程组A^*X=0有非零解，从而r(A^*)＜n，又A₁₁≠0，所以r(A^*)=1，且r(A)=n一1．因为r(A^*)=1，所以方程组A^*X=0的基础解系含有n一1个线性无关的解向量，而A^*A=0，所以A的列向量组α₁，α₂，…，α_n为方程组A^*X=0的一组解向量，由A₁₁≠0，得α₂，…，α_n线性无关，所以α₂，…，α_n是方程组A^*X=0的基础解系．因为A^*b=0，所以b可由α₂，…，α_n线性表示，也可α₁，α₂，…，α_n线性表示，故r(A)=r(A)=n一1＜n，即方程组AX=b有无穷多个解．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/VsH4777K

考研数学三

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设A为n阶矩阵，A11≠0．证明：非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解的充分必要条件是A*b=0．

考研数学三

求下列函数在指定区间上的最大值、最小值：

溶液从深18cm，顶圆直径12cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形筒中，开始时漏斗中盛满了溶液．已知当溶液在漏斗中高为12cm时，其表面下降的速度为1cm／min．问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少?

求出曲面z＝xy上的点，使这点处的法线垂直于平面x＋3y＋z＋9＝0，并写出这法线的方程．

根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的收敛性，并求出其中收敛级数的和：

用向量法证明：三角形两边中点的连线平行于第三边，且长度等于第三边长度的一半．

设A为n阶实矩阵，AT为A的转置矩阵，则对于线性方程组(I)AX＝0和(Ⅱ)ATAx＝0必有()．

设B＝(β1，β2，β3)，其βi(i＝1，2，3)为三维列向量，由于B≠0，所以至少有一个非零的列向量，不妨设β1≠0，由于AB＝A(β1，β1，β3)＝(Aβ1，Aβ2，Aβ3)=0，→Aβ1＝0，即β1为齐次线性方程组AX＝0的非零解，于是系数矩阵的

设向量α1，α2，...，αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

设线性方程组x1+λx2+λx3+x4=0;2x1+x2+x3+2x4=0;3x1+(2+λ)x2+(4+μ)x3+4x4=0;已知(1，-1，1，-1)T是该方程组的一个解．试求:方程组的全部解，并用对应的齐次方程组的基础解系表示全部解；

在肩关节横断层面上，腋窝的前壁为_______和_，内侧壁是_和_，后壁为_和___，外侧壁是_

下列各穴定位，不在同一水平线的是：

治疗绝经前晚期乳腺癌的药物是()。

下列组织结构模式中，()组织结构每个工作部门的指令源是唯一的。

()属于会计法律制度。

如果要求在检修任一引出线的母线隔离开关时，不影响其他支路供电，则可采用()。

若向量组α1＝(1，－a，1，1)T，α2＝(1，1，－a，1)T，α3＝(1，1，1，－a)T线性无关，则实数a的取值范围是_______．

网络管理的目标是最大限度地增加网络的可用时间，提高网络设备的利用率，改善网络性能、服务质量和(15)。

Sometimeschildrenhavetrouble________factfromfictionandmaybelievethatsuchthingsactuallyexist.

设A为n阶矩阵，A11≠0．证明：非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解的充分必要条件是A*b=0．

考研数学三

求下列函数在指定区间上的最大值、最小值：

溶液从深18cm，顶圆直径12cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形筒中，开始时漏斗中盛满了溶液．已知当溶液在漏斗中高为12cm时，其表面下降的速度为1cm／min．问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少?

求出曲面z＝xy上的点，使这点处的法线垂直于平面x＋3y＋z＋9＝0，并写出这法线的方程．

根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的收敛性，并求出其中收敛级数的和：

用向量法证明：三角形两边中点的连线平行于第三边，且长度等于第三边长度的一半．

设A为n阶实矩阵，AT为A的转置矩阵，则对于线性方程组(I)AX＝0和(Ⅱ)ATAx＝0必有()．

设B＝(β1，β2，β3)，其βi(i＝1，2，3)为三维列向量，由于B≠0，所以至少有一个非零的列向量，不妨设β1≠0，由于AB＝A(β1，β1，β3)＝(Aβ1，Aβ2，Aβ3)=0，→Aβ1＝0，即β1为齐次线性方程组AX＝0的非零解，于是系数矩阵的

设向量α1，α2，...，αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

设线性方程组x1+λx2+λx3+x4=0;2x1+x2+x3+2x4=0;3x1+(2+λ)x2+(4+μ)x3+4x4=0;已知(1，-1，1，-1)T是该方程组的一个解．试求:方程组的全部解，并用对应的齐次方程组的基础解系表示全部解；

在肩关节横断层面上，腋窝的前壁为_______________和_______________，内侧壁是_______________和_______________，后壁为_______________和_______________，外侧壁是_____

下列各穴定位，不在同一水平线的是：

治疗绝经前晚期乳腺癌的药物是()。

下列组织结构模式中，()组织结构每个工作部门的指令源是唯一的。

()属于会计法律制度。

如果要求在检修任一引出线的母线隔离开关时，不影响其他支路供电，则可采用()。

若向量组α1＝(1，－a，1，1)T，α2＝(1，1，－a，1)T，α3＝(1，1，1，－a)T线性无关，则实数a的取值范围是_______．

网络管理的目标是最大限度地增加网络的可用时间，提高网络设备的利用率，改善网络性能、服务质量和(15)。

Sometimeschildrenhavetrouble________factfromfictionandmaybelievethatsuchthingsactuallyexist.

在肩关节横断层面上，腋窝的前壁为_______和_，内侧壁是_和_，后壁为_和___，外侧壁是_